一道關於三角形重心的數學問題

時間 2022-09-16 16:10:08

1樓:德洛伊弗

這個問題挺有意思的,以前的數學競賽有過類似背景的題目。

結論應該是[4/9,1/2], 最小值在pq與某條邊平行時取得,最大值在p、q之一為某個頂點時取得。

先證最小、最大值分別是4/9,1/2吧,這個可以嚴格證明。

借用你的圖,過g作ab平行線,分別交bc, ca於p0, q0.

不妨設q在a, q0之間,只考慮q從q0變到a的過程即可。

我們證明:q從q0變到a時,s(cpq)是單調增的,這樣足矣。分兩步:

1. 證明q在a, q0之間時,gq>gp.

過q0作bc平行線交pq於點x, 則x一定在gq上。由gp0=gq0以及三角形全等,可知gx=gp, 故gq>gp.

2. 設q'在a, q0之間,相應的p記作p'. 證明s(cp'q')>s(cpq).

為此,只需證s(gqq')>s(gpp').

事實上,gq>gp, gq'>gp', ∠qgq'=∠pgp', 由三角形面積公式s=absinc/2, 即知s(gqq')>s(gpp').

這樣,我們就說明了q從q0變到a時,s(cpq)是(嚴格)單調增的。

而q=q0時s(cpq):s(cab)=4/9, q=a時s(cpq):s(cab)=1/2, 就說明s(cpq)=s1,而且s1/s的最小、最大值分別是4/9,1/2.

至於為什麼(4/9,1/2)中的值都可以取到,這個本質上是連續性,在中學範圍內無法嚴格證明。不過可以這樣理解:三角形abc固定以後,當q從q0變到a時,s(cpq)的變化過程是連續的;只要q的變化量很小,s(cpq)的變化量也很小,所以能取到所有中間值。

2樓:玉伊素蘭

很簡單吧,是中線交點的說,那一定平分bq,bc啊!(這是關鍵。)那麼底相等,又同高(這個你懂吧?),面積自然相等啊。所以,s1:s=1:2,夠簡單了。。。

不過你有這份鑽研的精神,數學一定不會差,就是別進到牛角尖去鑽。。(想當年我也和你一樣~)努力的孩紙,感覺你應該就要中考了~~加油吧~~

3樓:

s1/s=1 沒有範圍

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