1樓：hi漫海
如圖：cd是直角三角形abc的斜邊ab上的中線.
取ac的中點e,連結de,
因為 d是ab中點,
所以 de是中位線,de//bc,
因為 角acb是直角,
所以 de垂直於ac,
又因為 e是ac的中點,
所以 de是ac的垂直平分線,
所以 ad=cd（線段的垂直平分線上的任意一點到線段兩端的距離相等）,
同理： df是bc的垂直平分線,bd=cd,所以 cd=ad=bd=ab/2.
2樓：瀟a雪
證法1：
δabc是直角三角形，作ab的垂直平分線n交bc於d
∴ ad=bd（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）
以db為半徑，d為圓心畫弧，與bc在d的另一側交於c'
∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd ∠c’ad=∠ac’d （等邊對等角）
又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d =180°（三角形內角和定理）
∴∠bad+∠c’ad=90° 即：∠bac’=90°
又∵∠bac=90°
∴∠bac=∠bac’
∴c與c’重合（也可用垂直公理證明 ：假使c與c’不重合 由於ca⊥ab，c’a⊥ab 故過a有ca、c’a兩條直線與ab垂直 這就與垂直公理矛盾 ∴假設不成立 ∴c與c’重合）
∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中線且ad=bc/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理
證法2：
δabc是直角三角形，ad是bc上的中線，作ab的中點e，連線de
∴bd=cb/2，de是δabc的中位線
∴de‖ac（三角形的中位線平行於第三邊）
∴∠deb=∠cab=90°（兩直線平行，同位角相等）
∴de⊥ab
∴e是ab的垂直平分線
∴ad=bd（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）
∴ad=cb/2
證法3：運用向量證明
已知rt△abc中，∠bac=90°，ad是中線。求證bc=2ad
證明：設向量ac=b，向量ab=c，向量bc=a，向量ad=d
∵ad是bc的中線
∴c+b=2d
∴（c+b）²=4d²
括號，得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²
又∵c⊥b
∴c·b=0，|c|²+|b|²=|a|²
∴得|a|²=4|d|²
開方得|a|=2|d|，即bc=2ad
證法4：運用矩形的性質證明
延長ad到e,使de=ad,連線be,ce
∵bd=cd，∠bac=90°
∴四邊形abec是矩形
∴bc=ae=2ad
證法5：解析幾何證明
以a為原點，ac為x軸，ab為y軸建立直角座標系，並設c（2c,0），b（0，2b），那麼d（c，b）
|ad|=
|bc|=
==2|ad|
證法6：圓
作rt△abc外接圓
∵∠bac=90°
∴bc是直徑（90°的圓周角所對的弦是直徑）
∴d是圓心，ad是半徑
∴bc=2ad
怎麼證明定理直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
3樓：匿名使用者
直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。
設在直角三角形abc中，∠bac=90°，ad是斜邊bc的中線，求證：ad=1/2bc。
【證法1】
延長ad到e，使de=ad，連線ce。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd，
又∵∠adb=∠edc（對頂角相等），
ad=de，
∴△adb≌△edc（sas），
∴ab=ce，∠b=∠dce，
∴ab//ce（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠bac+∠ace=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∵∠bac=90°，
∴∠ace=90°，
∵ab=ce，∠bac=eca=90°，ac=ca，∴△abc≌△cea（sas）
∴bc=ae，
∵ad=de=1/2ae，
∴ad=1/2bc。
【證法2】
取ac的中點e，連線de。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd=1/2bc，
∵e是ac的中點，
∴de是△abc的中位線，
∴de//ab（三角形的中位線平行於底邊）∴∠dec=∠bac=90°（兩直線平行，同位角相等）∴de垂直平分ac，
∴ad=cd=1/2bc（垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）。
【證法3】
延長ad到e，使de=ad，連線be、ce。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd，
又∵ad=de，
∴四邊形abec是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∵∠bac=90°，
∴四邊形abec是矩形（有一個角是90°的平行四邊形是矩形），∴ae=bc（矩形對角線相等），
∵ad=de=1/2ae，
∴ad=1/2bc。
4樓：粽粽有料
▶延長ad到e，使de=ad，連線be、ce。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd，
又∵ad=de，
∴四邊形abec是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∵∠bac=90°，
∴四邊形abec是矩形（有一個角是90°的平行四邊形是矩形），∴ae=bc（矩形對角線相等），
∵ad=de=1/2ae，
∴ad=1/2bc。
5樓：夜空中一片雲
定理：如果一個三角形是直角三角形,那麼這個三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半。
δabc是直角三角形，ad是bc上的中線，作ab的中點e，連線de∴bd=cb/2，de是δabc的中位線
∴de‖ac（三角形的中位線平行於第三邊）∴∠deb=∠cab=90°（兩直線平行，同位角相等）∴de⊥ab
∴de是ab的垂直平分線
∴ad=bd（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）∴ad=cb/2
6樓：少女心的女漢子
設在直角三角形abc中，∠bac=90°，ad是斜邊bc的中線，求證：ad=1/2bc。
延長ad到e，使de=ad，連線ce。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd，
又∵∠adb=∠edc（對頂角相等），
ad=de，
∴△adb≌△edc（sas），
∴ab=ce，∠b=∠dce，
∴ab//ce（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠bac+∠ace=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∵∠bac=90°，
∴∠ace=90°，
∵ab=ce，∠bac=eca=90°，ac=ca，∴△abc≌△cea（sas）
∴bc=ae，
∵ad=de=1/2ae，
∴ad=1/2bc。
如何證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半
7樓：babyan澀
證法1：
δabc是直角三角形，作ab的垂直平分線n交bc於d
∴ ad=bd（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）
以db為半徑，d為圓心畫弧，與bc在d的另一側交於c'
∴dc’=ad=bd∴∠bad=∠abd ∠c’ad=∠ac’d （等邊對等角）
又∵∠bad+∠abd+∠c’ad+∠ac’d =180°（三角形內角和定理）
∴∠bad+∠c’ad=90° 即：∠bac’=90°
又∵∠bac=90°
∴∠bac=∠bac’
∴c與c’重合（也可用垂直公理證明 ：假使c與c’不重合 由於ca⊥ab，c’a⊥ab 故過a有ca、c’a兩條直線與ab垂直 這就與垂直公理矛盾 ∴假設不成立 ∴c與c’重合）
∴dc=ad=bd∴ad是bc上的中線且ad=bc/2這就是直角三角形斜邊上的中線定理
證法2：
δabc是直角三角形，ad是bc上的中線，作ab的中點e，連線de
∴bd=cb/2，de是δabc的中位線
∴de‖ac（三角形的中位線平行於第三邊）
∴∠deb=∠cab=90°（兩直線平行，同位角相等）
∴de⊥ab
∴e是ab的垂直平分線
∴ad=bd（線段垂直平分線上的點到這條線段兩端點的距離相等）
∴ad=cb/2
證法3：運用向量證明
已知rt△abc中，∠bac=90°，ad是中線。求證bc=2ad
證明：設向量ac=b，向量ab=c，向量bc=a，向量ad=d
∵ad是bc的中線
∴c+b=2d
∴（c+b）²=4d²
括號，得|c|²+2c·b+|b|²=4|d|²
又∵c⊥b
∴c·b=0，|c|²+|b|²=|a|²
∴得|a|²=4|d|²
開方得|a|=2|d|，即bc=2ad
證法4：運用矩形的性質證明
延長ad到e,使de=ad,連線be,ce
∵bd=cd，∠bac=90°
∴四邊形abec是矩形
∴bc=ae=2ad
證法5：解析幾何證明
以a為原點，ac為x軸，ab為y軸建立直角座標系，並設c（2c,0），b（0，2b），那麼d（c，b）
證法6：圓
作rt△abc外接圓
∵∠bac=90°
∴bc是直徑（90°的圓周角所對的弦是直徑）
∴d是圓心，ad是半徑
∴bc=2ad
8樓：允藉拱昕靚
直角三角形斜邊中線等於斜邊的一半。
設在直角三角形abc中，∠bac=90°，ad是斜邊bc的中線，求證：ad=1/2bc。
【證法1】
延長ad到e，使de=ad，連線ce。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd，
又∵∠adb=∠edc（對頂角相等），
ad=de，
∴△adb≌△edc（sas），
∴ab=ce，∠b=∠dce，
∴ab//ce（內錯角相等，兩直線平行）
∴∠bac+∠ace=180°（兩直線平行，同旁內角互補）∵∠bac=90°，
∴∠ace=90°，
∵ab=ce，∠bac=eca=90°，ac=ca，∴△abc≌△cea（sas）
∴bc=ae，
∵ad=de=1/2ae，
∴ad=1/2bc。
向左轉|向右轉
【證法2】
取ac的中點e，連線de。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd=1/2bc，
∵e是ac的中點，
∴de是△abc的中位線，
∴de//ab（三角形的中位線平行於底邊）∴∠dec=∠bac=90°（兩直線平行，同位角相等）∴de垂直平分ac，
∴ad=cd=1/2bc（垂直平分線上的點到線段兩端距離相等）。
向左轉|向右轉
【證法3】
延長ad到e，使de=ad，連線be、ce。
∵ad是斜邊bc的中線，
∴bd=cd，
又∵ad=de，
∴四邊形abec是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），∵∠bac=90°，
∴四邊形abec是矩形（有一個角是90°的平行四邊形是矩形），∴ae=bc（矩形對角線相等），
∵ad=de=1/2ae，
∴ad=1/2bc。
向左轉|向右轉
證明直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半附圖
延長bd到e，使ed bd，連線ce bd為ac中線 ad cd 在 abd和 ced中 ad cd adb cde bd ed abd ced ce ab,a ace suoyi5ab ce abc bce 90 在 abc和 bce中 ab ec abc bce bc ce abc bce be...
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