關於複合函式極限的很基礎的問題,一個關於複合函式極限的很基礎的問題

時間 2021-07-12 17:28:22

1樓:匿名使用者

哈哈很簡單

強調ψ(x)≠a是因為數學很嚴謹

因為複合極限定理即使是f(u)在u=a處無定義時也成立。

書上只說f(ψ(x))在x=x0的某去心鄰域有定義如果去掉有沒有什麼影響?:顯然沒影響。不過極限過程習慣上不考慮該點是否有定義,只考慮該點的去心鄰域。

既然是定理,條件當然應當苛刻,應用才可能廣泛。

2樓:風包抄

這是x*sin(1/x)的影象,

那麼當x->0的時候,就有兩種情況:

當x=1/nπ時,g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0

噹噹x不等於1/nπ時,g(x)不等於0,但是趨近於0,於是lim(x->0) f(g(x))=1

兩種情況的極限不等,所以原極限不存在啊。

要知道如果所求的極限存在,記為a的話。那麼x不論一什麼樣的採點方式趨近於0,極限都應該是a。即“一般應包含特殊”。整體來說極限都是a了,那麼部分樣點的極限也應該是a才對!

但現在x以兩種不同的採點方式趨近於0時得到的結果就不同,就說明整體極限不存在!

這就好像一個數列

它的奇數項的極限存在,是1。偶數項的極限也存在,是-1。但是兩者不等,所以原數列的極限是不存在的。

一樣的道理,如果整體極限是a,那麼奇數項和偶數項的極限必須都是a。

希望對你有用!

3樓:匿名使用者

去掉ψ(x)≠a的話,就不嚴謹了。因為假設在x0的去心領域內,存在ψ(x)=a,那麼假設此時x=x1,即ψ(x1)=a。那麼在 u —>a,f(u)極限為a中:

x—>x0,x—>x1都使得u—>a。

即:使得f(u)極限為a的x情況有兩種:一種是x—>x0,一種是x—>x1。

顯然x—>x1不是複合函式f(ψ(x))=a要的條件,定理中只要x—>x0,複合函式的極限為a。加了ψ(x)≠a這個條件,就排除了x—>x1這種情況。

我是這麼理解的。

4樓:

是個證明題,那是一個條件哦!

5樓:匿名使用者

去掉了這句話之後定義的則是複合函式的連續性了...

複合函式求極限問題?

6樓:匿名使用者

用換元法,令t=g(x),根據題意,當x→+∞的時候,t→+∞

所以lim(x→+∞)f(g(x))=lim(t→+∞)f(t)=+∞

複合函式極限問題

7樓:涼薄女子一

前提應該是函式的連續性吧

當f(x)在某處連續,g(x)在這一處極限存在時,對這一點的極限有如下式子(所有的lim都省略x→x0)

lim(f(g(x)))=f(lim(g(x)))證明:如果補充定義該點處g(x0)=lim(g(x)),那麼g(x)在這點也是連續的,且f(g(x0))=f(lim(g(x))),

可以證明,f(g(x))在這一點也是連續的,則lim(f(g(x)))=f(g(x0)),所以lim(f(g(x)))=f(lim(g(x))),結論成立

關於複合函式的極限運演算法則的小問題??

8樓:匿名使用者

有個定理(也許是引理?……):

若lim(x→x0)f(x)=y0,lim(y→y0)g(y)=l,且存在正數a使得在(x0-a,x0+a)內f(x)≠y0,則lim(x→x0)g(f(x))=l (證明就版是直接把極限的定權義套進去就完了)

在這裡,f(x)=lnx,g(y)=e^y,可以看出f(x)確實滿足那個看起來很奇葩的條件“存在正數a使得在(x0-a,x0+a)內f(x)≠y0”。

嚴格的說法就是,你做到最後發現lim(x→x0)f(x)(即lnx)存在(=y0),且lim(y→y0)g(y)(即e^y)存在(=g(y0))(因為g連續嘛),所以原極限=lim(x→x0)g(f(x))=g(y0)

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