1樓：秋雨梧桐葉落石
您好，英文教材我沒看過 ，也很好奇國外教材是怎麼介紹的，在這想請教您一下。這裡只想說說自己對聚點的理解，中國教材中的聚點一般都是用集合定義的，即對於集合a，如果點x0的任意去心鄰域內都存在異於x0的點x，使得x屬於a，那麼x0稱為a的聚點。初次接觸這個定義時，感到很抽象，感覺好像就是指集合的內點和邊界點，完全看不出「聚」字的意義何在（現在也沒看出）。
後來自己看書看到極限點這個概念，發現它和聚點是一回事，但極限點的定義就顯得很「親切」，它是說在點集a中，如果無窮點列全部屬於a，則這點列的極限（如果存在的話）就稱為極限點。由於的極限點不一定屬於a，所以極限點這個名字要比所謂的「聚點」好理解的多。但是很多教材都用集合定義的聚點我覺得也不是沒有道理的，因為這個概念容易推廣，談極限就要求討論的集合要定義距離結構，而用鄰域則可借助拓撲學中的方法推廣到無距離結構的集合中，如果在沒有距離結構也就沒有極限概念的集合中使用極限點這個名字，會感覺有點不「和諧」，因此人們更願意用聚點這個名字，雖然這個聚字一點都不形象，像是瞎起的名字。
以上是我的理解，如果英文教材中有更好的解釋，歡迎討論。
2樓：匿名使用者
n應該代表的是集合裡面的元素，從有限取到無限，把n看成是函式裡面的x也可以。xn的值與n有關係，與a無法做運算，a已經是乙個不變的數，n只能與xn做運算。
n類似圖中3的位置，如果n取1，那麼值接近2，但是如果n取3，那麼此時幾乎就是極限，根據需要n也可以5、6等，後面都可以.
因此n的最小位置就是xn的值（與n有關係的計算值）與a已經無限接近
3樓：
你如果超過那你害怕的那就是極限把
關於導數和極限的概念性問題
4樓：匿名使用者
我們先說極限和連續
極限是最基本的，連續的概念建立在極限上，連續的定義如下，設函式在點的某一鄰域內有定義，如果函式f(x)當x趨近於x0時的極限存在，且等於它在點x0處的函式值f(x0)
那麼就稱函式f(x)在點x0連續，連續這個概念很雞肋的，不在考綱裡，也沒露骨地考過，知道一下就行了，不必過分深究。
就是說，乙個函式在乙個點上有極限，才有可能有連續，而導數是個工具，是斜率的函式，適用範圍很狹窄，你比如說折線性函式，拐點處不可導，但有極限，有連續。所以
，導數只是幫你求極限的，卻不能決定極限是否存在。有導數，一定有極限，一定連續，無導數，也有可能有極限和連續。有連續，一定有極限，有極限，不一定連續。
可以說，極限是老大，連續是老二，導數是小兵。。。呵呵
5樓：安克魯
問題一：是否可以說 如果函式f(x)在點xo處不可導，那麼函式y=f(x)在點xo處不連續。
【解答】
可導：一定連續，連續不一定可導。
問題二：是否可以將其理解為：在xo處連續不一定可導，但可導就一定連續？
【解答】
對。問題三：若函式f(x)在點x=xo處連續，則當x趨近於xo時，f(x)存在極限。
可是，存在極限不就是存在導數嗎？可是在這一題中：y=x的根號三次方 在x=0時不可導，但在x=0處卻是連續的。
存在極限卻不存在導數，這是為什麼啊？
【解答】
存在極限，不表示存在導數。
極限存在只表示連續；導數存在表示圖形光滑。
所以，導數和極限到底有什麼區別呢？而連不連續與這兩者又有著怎樣得決定關係呢？
【解答】
連續 + 光滑 + 切線不是垂直於x軸 = 可導。
有問題，請hi我。
6樓：
問題一，二你自己已經找到了答案了
可導是連續的充分不必要條件
連續式可導的必要不充分條件
f(x)在x0存在極限和導數沒關係，倒是的定義是[f(x)-f(x0)]/(x-x0)當x趨向x0
時存在極限
7樓：
回答一 ：誰說y=x的根號三次方在x=0出不可導來了,y=x的根號三次方的導函式是y=1/(2/3√x)，x可以取零 ，查一下導函式怎樣求吧，唉！ （√是根號）
回答二：這個題目有問題，xo是乙個點，不存在連續的，它只是乙個點，點是不能連續的。只能說在乙個區間裡連續則可導，且可導則連續。
回答三：前兩個問題已經有問題了，這個我就更不能回答你了，只能說你一開始就錯了，接下來就一路錯下來了。
導數代表的是乙個函式在某一點切線的斜率，比如y=x的平方，其導數是y=x，當x=1時，y=1則y=x的平方在x=1時的點切線斜率為1。
而極限則是，設函式y=f(x)在(a,+∞)內有定義，如果當x→+∞時，函式f(x)無限接近乙個確定的常數a，則稱a為當x趨於+∞時函式f(x)的極限。記作lim f(x)＝a ，x→+∞。
這兩個概念的區別我很難跟你解釋，因為你好想要我解釋乙隻狗和電腦有什麼區別，兩者本不在一塊，不容易混淆，只是書上同時講了這兩個概念。望好好看書。
極限的定義是怎麼來的
8樓：匿名使用者
由來：與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的大腦抽象思維的產物。極限的思想可以追溯到古代，例如，祖國劉徽的割圓術就是建立在直觀圖形研究的基礎上的一種原始的可靠的「不斷靠近」的極限思想的應用；
古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人「對』無限『的恐懼」，他們避免明顯地人為「取極限」，而是借助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。
到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中「指出了把極限方法發展成為乙個實用概念的方向」。
擴充套件資料
極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯系的。16世紀的歐洲處於資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中遇到大量的問題。
開始人們只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破』只研究常量『的傳統範圍，而尋找能夠提供能描述和研究運動、變化過程的新工具，是促進』極限『思維發展、建立微積分的社會背景。
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立了微積分，後來因遇到邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。
9樓：翱翔四方
因為cosh小於等於1，那麼1-cosh永遠不會出現在0的左側，也就是0的左導數，不確定，謝謝，不懂的話可以繼續問我。
10樓：小堅果
極限的產生與發展
（1）由來
與一切科學的思想方法一樣，極限思想也是社會實踐的大腦抽象思維的產物。極限的思想可以追溯到古代，例如，祖國劉徽的割圓術就是建立在直觀圖形研究的基礎上的一種原始的可靠的「不斷靠近」的極限思想的應用；古希臘人的窮竭法也蘊含了極限思想，但由於希臘人「對』無限『的恐懼」，他們避免明顯地人為「取極限」，而是借助於間接證法——歸謬法來完成了有關的證明。
到了16世紀，荷蘭數學家斯泰文在考察三角形重心的過程中，改進了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運用極限思想思考問題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無意中「指出了把極限方法發展成為乙個實用概念的方向」。
（2）發展
極限思想的進一步發展是與微積分的建立緊密相聯系的。16世紀的歐洲處於資本主義萌芽時期，生產力得到極大的發展，生產和技術中遇到大量的問題，開始人們只用初等數學的方法已無法解決，要求數學突破』只研究常量『的傳統範圍，而尋找能夠提供能描述和研究運動、變化過程的新工具，是促進』極限『思維發展、建立微積分的社會背景。
起初牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎建立了微積分，後來因遇到邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用』路程的改變量δs『與』時間的改變量δt『之比 「
」 表示運動物體的平均速度，讓δt無限趨近於零，得到物體的瞬時速度，並由此引出導數概念和微分學理論。他意識到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎，他說：「兩個量和量之比，如果在有限時間內不斷趨於相等，且在這一時間終止前互相靠近，使得其差小於任意給定的差，則最終就成為相等」。
但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直觀上的，因而他無法得出極限的嚴格表述。牛頓所運用的極限概念，只是接近於下列直觀性的語言描述：「如果當n無限增大時，
無限地接近於常數a，那麼就說
以a為極限。
正因為當時缺乏嚴格的極限定義，微積分理論才受到人們對於科學理論的懷疑與攻擊，例如，在物理學的』瞬時速度『概念，究竟δt（變化量）是否等於零？如果說是零，（因為真理如果被無限擴大其適用範圍也會變為錯誤）：怎麼能用它去作除法呢？
（其實變化量不可能為0）。但是人們認為，如果它不是零，計算機和函式變形時又怎麼能把包含著它的那些「微小的量」項去掉呢?當時人們不理解，想完全沒有一點點誤差地進行變數的計算而導致打擊認為發生悖論，這就是數學史上所說的無窮小悖論產生的原因。
英國哲學家、大主教貝克萊對微積分的攻擊最為激烈，他說微積分的推導是「分明的詭辯」。科學發展的歷史和成功表明他的觀點是錯的。
貝克萊之所以激烈地攻擊微積分，一方面是為宗教服務，另一方面也由於當時的微積分缺乏牢固的理論基礎，和變通的解決辦法，連名人牛頓也無法擺脫『極限概念』中的混亂。這個事實表明，弄清「極限」概念，它是乙個動態的量的無限變化過程，微小的變數趨勢方向上當然可以極為精密地近似等於某乙個常量。這是建立嚴格的微積分理論的思想基礎，有著認識論上的科學研究的工具的重大意義。
（3）完善
極限思想的完善，與微積分的嚴格化的密切聯絡。在很長一段時間裡，微積分理論基礎的問題，許多人都曾嘗試「徹底滿意」地解決，但都未能如願以償。這是因為數學的研究物件已從常量擴充套件到變數，而人們習慣於用不變化的常量去思維，分析問題。
對「變數」特有的概念理解還不十分清楚；對「變數數學」和「常量數學」的區別和聯絡還缺乏了解；對「有限」和「無限」的對立統一關係還不明確。這樣，人們使用習慣的處理常量數學的傳統思想方法，思想僵化，就不能適應『變數數學』的新發展。古代的人們習慣用舊概念常量就說明不了這種 [「零」與「無限靠近零的非零數值」之間可以人為的微小距離跳躍到相等的相互轉化]的科學性結論的辯證關係。
到了18世紀，羅蘋斯、達朗貝爾與羅依裡埃等人先後明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，並且都對極限作出過，各自的定義。其中達朗貝爾的定義是：「乙個量是另乙個量的極限，假如第二個量比任意給定的值更為接近第乙個量」，其描述的內涵接近於『極限的正確定義；然而，這些人的定義都無法擺脫對幾何直觀的依賴。
觀點也只能如此，因為19世紀以前的算術和幾何概念，大部分都是建立在幾何量的概念上的。其實，「具象化」不是思維落後的代名詞，對於幾何直觀的研究不是思維落後的代名詞，因為在今天仍然是可以用函式』對映『為圖形，來研究較為複雜的趨勢問題。如果有趨勢則極限概念能夠成立。
例如「具象化」圖形代替函式可綁架直觀地證明某乙個沒有規律可描述的向使用者久攻不下的命題不能成立；（或另外乙個函式卻能夠成立）， 再分別作具體的「符號方式」的數學證明。
首先用極限概念給出『導數』的正確定義的是捷克數學家波爾查諾，他把函式f(x)的導數定義為差商
的極限f'(x)，他強調指出f'(x)不是兩個零的商。波爾查諾的思想是有價值的，但關於『極限的本質』他仍未描述清楚。
到了19世紀，法國數學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了「極限概念」及其理論，他在《分析教程》中指出：「當乙個變數逐次所取的值無限趨於乙個定值，最終使變數的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當乙個變數的數值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變數成為無窮小。」
柯西把無窮小視為「以0為極限的變數」，這就正確地確立了「無窮小」概念為「似零不是零去卻可以人為用等於0處理」的辦法，這就是說，在變數的變化過程中，它的值實際上不等於零，但它變化的趨向是向「零」，可以無限地接近於零。那麼人們就可以用「等於0」來處理，是不會產生錯誤結果的。
柯西試圖消除極限概念中的幾何直觀，（但是「幾何直觀」不是消極的東西，我們研究函式時也可以可以發揮想像力——「動態趨勢的變數影象，假設被放大到巨大的天文倍數以後，我們也會永遠不能看到變數值『重合於0」，所以用不等式表示會更加「明確」）作出極限的明確定義，然後去完成牛頓的願望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如「無限趨近」、「要多小就多小」比較通俗易懂的描述，對於概念的理解比較容易，因此其定義還保留著幾何和物理的直觀痕跡，一分為二，直觀痕跡比較多也會有好處，但是結合下面的抽象定義可更加容易理解『極限』的概念。
為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態的抽象定義，給微積分提供了嚴格的理論基礎。所謂
，就是指：「如果對任何
，總存在自然數n，使得當
時，不等式
恆成立」。
這個定義，借助不等式，通過ε和n之間的關係，定量地、具體地刻劃了兩個「無限過程」之間的聯絡。因此，這樣的定義應該是目前比較嚴格的定義，可作為科學論證的基礎，至今仍在數學分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是『數及其大小關係』，此外只是用給定、存在、任何等詞語，已經擺脫了「趨近」一詞，不再求助於運動的直觀。
（但是理解』極限『概念不能夠拋棄『運動趨勢』去理解， 否則容易導致』把常量概念不科學地進入到微積分』領域裡）
常量可理解為『不變化的量』。微積分問世以前，人們習慣於用靜態影象研究數學物件，自從解析幾何和微積分問世以後，考慮『變化量』的運動思維方式進入了數學領域，人們就有數學工具對物理量等等事物變化過程進行動態研究。之後，維爾斯特拉斯，建立的ε－n語言，則用靜態的定義描述變數的變化趨勢。
這種「靜態——動態——靜態」的螺旋式的上公升演變，反映了數學發展的辯證規律。
關於導數的極限定義形式，關於導數和極限的概念性問題
茲斬鞘 微分寫法 y f x 則dy f x dx。極限形式 1 f x0 lim x x0 f x f x0 x x0 2 f x lim x 0 f x x f x x。d表示微分。常用導數公式 1 y c c為常數 y 0 2 y x n y nx n 1 3 y a x y a xlna，y...
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我想問個關於數列極限定義的問題，關於數列極限的定義
老伍 存在一個正整數n,使得當n n時，有 xn a 總小於e這個e是任意小的正數 如何找到這個n是解決這類問題的關健 通常的做法是 1 通過不等式 xn a n時有 xn a 比如說 an 1 n，極限是0.顯然，隨著 n 的無限增大，an 的值無限趨近於極限 0.那麼這個無限趨近的 程度 怎樣描...