1樓：匿名使用者
n個數的算術平均術大於其幾何平均數
2樓：超過2字
a,b是正數
則(a+b)/2>=√(ab)
a^2+b^2>=2ab
3樓：匿名使用者
均值不等式
幾個重要不等式(一)
一、平均值不等式
設a1,a2,…, an是n個正實數，則，當且僅當a1=a2=…=an時取等號
1.二維平均值不等式的變形
(1)對實數a,b有a2+b2³2ab (2)對正實數a,b有
(3)對b>0，有， (4)對ab2>0有，
(5)對實數a,b有a(a-b)³b(a-b) (6)對a>0,有
(7) 對a>0,有 (8)對實數a，b有a2³2ab-b2
(9) 對實數a，b及l¹0，有
二、例題選講
例1.證明柯西不等式
證明：法
一、若或命題顯然成立，對¹0且¹0，取
代入(9)得有
兩邊平方得
法二、，即二次式不等式恆成立
則判別式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,試證明：
(1)(2)證明：(1)左=
= ³(2)由知
同理：相加得：左³
例3.求證：
證明：法
一、取，有
a1(a1-b)³b(a1-b), a2(a2-b)³b(a2-b),…, an(an-b)³b(an-b)
相加得(a12+ a22+…+ an2)-( a1+ a2+…+ an)b³b[(a1+ a2+…+ an)-nb]³0
所以 法
二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)2=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)2£(a12+ a22+…+ an2)(12+12+…+12)
=(a12+ a22+…+ an2)n,
所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,…,an是正實數，且a1+ a2+…+ an<1，證明：
證明：設1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,
則原不等式即nn+1a1a2…an+1£(1-a1)(1-a2)…(1-an)
1-a1=a2+a3+…+an+1³n
1-a2=a1+a3+…+an+1³n
…………………………………………
1-an+1=a1+a1+…+an³n
相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)³nn+1
例5.對於正整數n，求證：
證明：法一、
>法二、左=
= 例6.已知a1,a2,a3,…,an為正數，且，求證：
(1)(2)證明：(1)
相乘左邊³=(n2+1)n
證明(2)
左邊= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](
³ -n+2×n
4樓：山中一滴露
均值不等式
百科名片
1、調和平均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an) 2、幾何平均數：
gn=(a1a2...an)^(1/n) 3、算術平均數：an=(a1+a2+...
+an)/n 4、平方平均數：qn=√ (a1^2+a2^2+...+an^2)/n 這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn 的式子即為均值不等式。
目錄均值不等式的簡介
均值不等式的變形
均值不等式的證明
均值不等式的應用
其他不等式
重要不等式 - 1.柯西不等式
重要不等式 - 2.排序不等式
重要不等式 - 3.切比雪夫不等式
編輯本段
均值不等式的簡介
概念：1、調和平均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術平均數：an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn
a1、a2、… 、an∈r +，當且僅當a1=a2= … =an時取“=”號
均值不等式的一般形式：設函式d(r)=[（a1^r+a2^r+...an^r）/n]^(1/r)(當r不等於0時);
(a1a2...an)^(1/n)(當r=0時）（即d(0)=(a1a2...an)^(1/n)）
則有：當r 注意到hn≤gn≤an≤qn僅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)
由以上簡化，有一個簡單結論，中學常用2/(1/a+1/b)≤√ab≤(a+b)/2≤√〔(a^2+b^2)/2〕
編輯本段
均值不等式的變形
(1)對實數a,b，有a^2+b^2≥2ab (當且僅當a=b時取“=”號)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)對非負實數a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)對負實數a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)對實數a,b，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)對非負數a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
(6)對非負數a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥2ab
(7)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)對非負數a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
(10)對實數a,b,c，有(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
編輯本段
均值不等式的證明
方法很多，數學歸納法（第一或反向歸納）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等
用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。
引理：設a≥0，b≥0，則(a＋b)^n≥a^n＋na^(n－1)b。
注：引理的正確性較明顯，條件a≥0，b≥0可以弱化為a≥0，a＋b≥0,有興趣的同學可以想想如何證明(用數學歸納法)。
原題等價於：((a1＋a2＋…＋an )／n)^n≥a1a2…an。
當n＝2時易證；
假設當n＝k時命題成立，即
((a1＋a2＋…＋ak )／k)^k≥a1a2…ak。那麼當n＝k＋1時，不妨設a(k＋1)是a1，a2 ，…，a(k＋1)中最大者，則
k a(k＋1)≥a1＋a2＋…＋ak。
設s＝a1＋a2＋…＋ak，
^(k+1)
＝^(k+1)
≥(s／k)^(k+1)＋(k＋1)(s／k)^k[k a(k＋1)－s]／k(k＋1) 用引理
＝(s／k)^k* a(k＋1)
≥a1a2…a(k＋1)。用歸納假設
下面介紹個好理解的方法
琴生不等式法
琴生不等式：上凸函式f(x)，x1,x2,...xn是函式f(x)在區間(a,b)內的任意n個點，
則有：f[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[f(x1)+f(x2)+...+f(xn)]
設f(x)=lnx，f(x)為上凸增函式
所以，ln[(x1+x2+...+xn)/n]≥1/n*[ln(x1)+ln(x2)+...+ln(xn)]=ln[(x1*x2*...*xn)^(1/n)]
即(x1+x2+...+xn)/n≥(x1*x2*...*xn)^(1/n)
在圓中用射影定理證明（半徑不小於半弦）
編輯本段
均值不等式的應用
例一 證明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*[(√x)*(√x)*(1/x)]^(1/3)=3
所以，2√x≥3-1/x
例二 長方形的面積為p，求周長的最小值
解：設長,寬分別為a,b，則a*b=p
因為a+b≥2√(ab)，所以2(a+b)≥4√(ab)=4√p
周長最小值為4√p
例三 長方形的周長為p，求面積的最大值
解：設長,寬分別為a,b，則2(a+b)=p
因為a+b=p/2≥2√(ab)，所以ab≤p^2/16
面積最大值是p^2/16
編輯本段
其他不等式
琴生不等式
絕對值不等式
權方和不等式
赫爾德不等式
閔可夫斯基不等式
貝努利不等式
柯西不等式
切比雪夫不等式
外森比克不等式
排序不等式
編輯本段
重要不等式 - 1.柯西不等式
柯西不等式的一般證法有以下幾種：
（1）cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令 f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恆有 f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有一個實根的條件，就有 δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
（2）用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......
+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
柯西不等式還有很多種，這裡只取兩種較常用的證法．
柯西不等式在求某些函式最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。
巧拆常數：
例：設a、b、c 為正數且各不相等。
求證： (2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)
分析：∵a 、b 、c 均為正數
∴為證結論正確只需證：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9
而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)
又 9=(1+1+1)(1+1+1)
證明：θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9
又 a、b 、c 各不相等，故等號不能成立
∴原不等式成立。
像這樣的例子還有很多，詞條裡不再一一列舉，大家可以在參考資料裡找到柯西不等式的證明及應用的具體文獻．
編輯本段
重要不等式 - 2.排序不等式
排序不等式是高中數學競賽大綱要求的基本不等式。
設有兩組數 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 滿足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n 則有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n b1≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 +……+ a n b n 式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一個排列， 當且僅當 a 1 = a 2 =……= a n 或 b 1 = b 2 =……= b n 時成立。
以上排序不等式也可簡記為： 反序和≤亂序和≤同序和.
證明時可採用逐步調整法。
例如，證明：其餘不變時，將a 1 b 1 + a 2 b 2 調整為a 1 b 2 + a 2 b 1 ，值變小，只需作差證明（a 1 -a 2 ）*（b 1 -b 2 ）≥0，這由題知成立。
依次類推，根據逐步調整法，排序不等式得證。
編輯本段
重要不等式 - 3.切比雪夫不等式
切比雪夫不等式有兩個
（1）設存在數列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≤b2≤b3≤......≤bn
那麼，∑aibi≥(1/n)(∑ai)(∑bi)
（2）設存在數列a1,a2,a3.....an和b1,b2,b3......bn滿足a1≤a2≤a3≤.....≤an和b1≥b2≥b3≥......≥bn
那麼，∑aibi≤(1/n)(∑ai)(∑bi)
編輯本段
重要不等式 - 4.琴生不等式
設f(x)為上凸函式，則f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n,稱為琴生不等式（冪平均）。
加權形式為：
f[(a1x1+a2x2+……+anxn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn),其中
ai>=0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1.
編輯本段
重要不等式 - 5.均值不等式
a^2 + b^2≥ 2ab （a與b的平方和不小於它們的乘積的2倍)
當a,b 分別大於0時上試可變為a+b ≥2√ab
編輯本段
重要不等式 - 6.完全的均值不等式
√[(a^2+ b^2)/2] ≥(a+b)/2 ≥√ab ≥2/(1/a+1/b)
（二次冪平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均）
證明：（證明過程引自他出）
設a，b是兩個正數，
m2=√[(a^2+b^2)/2]，a=(a+b)/2，g=√(ab)，h=2/(1/a+1/b)
分別表示a，b兩元的二次冪平均，算術平均，幾何平均和調和平均。證明: m2≥a≥g≥h。
證明 在梯形abcd中，ab‖cd，記ab=b，cd=a。 eifi(i=1,2,3,4)是平行於梯形abcd的底邊且被梯形兩腰所截的線段。
如果e1f1分梯形為等積的兩部分，那麼
e1f1=√[(a^2+b^2)/2]。
如果e2f2分梯形的中位線，那麼
e2f2=(a+b)/2。
如果e3f3分梯形為兩相似圖形，那麼
e3f3=√(ab)。
如果e4f4通過梯形兩對角線交點的線段，那麼
e4f4=2/(1/a+1/b)。
從圖中直觀地證明e1f1≥e2f2≥e3f3≥e4f4，當a=b時取等號。
編輯本段
重要不等式 - 7.冪平均不等式
冪平均不等式：ai>0(1≤i≤n),且α>β，則有（∑ai^α/n)^1/α≥(∑ai^β/n)^1/β成立
iff a1=a2=a3=……=an 時取等號
加權的形式：
設ai>0，pi>0(1≤i≤n)，且α>β，則有
（∑pi*ai^α/∑pi)^1/α≥(∑pi*ai^β/∑pi)^1/β
iff a1=a2=a3=……=an， p1=p2=p3=……=pn 時取等號。
特例：- 調和平均（-1次冪）， - 幾何平均（0次冪）， - 算術平均（1次冪）， ， - 二次平均（2次冪）
能解釋一下這題嗎，能幫我解釋一下這道題嗎？
在參加活動沒有辦法看到你的詳細題目 哦，是什麼數學題？很難嗎？發上來看看，我們很樂意幫助你。lim n趨近於無窮大 1 1 2 1 2 n lim n趨近於無窮大 1 1 1 2 n 1 2 2 這道題就是這樣然後那樣 把題目列出來一下子。你得把這個題傳上來。不然我們不知道是什麼題無法解答。學歷有限...
有誰看過clannad嗎？能解釋一下大結局是什麼意思
此方愛 大結局就和你看到的一樣，key沒給明確的答案，你可以理解成是一個夢也可以理解成岡崎看到了平行世界發生的另一個結局。小汐在樹下每個人的看法都不同，key社要的就是這種效果，如果動漫看完不是非常理解的話我推薦在看一遍或者去玩玩clannad的遊戲，畢竟是遊戲改編的動漫，遊戲的故事更加的全。動漫與...
能解釋下什麼是艦娘嗎，誰來跟我解釋一下艦娘中聯合艦隊4個陣型分別是什麼效果（或者對應哪個陣型
艦隊collection 遊戲以第二次世界大戰時期的日本帝國海軍 為題材。玩家可以在遊戲內一邊收集 擬人化的角色 艦娘 一邊將已經收集到的艦娘強化並改造，最後在戰鬥中打倒深海艦隊，成就無敵的聯合艦隊。將驅逐艦 巡洋艦 戰列艦等 擬人化成為 艦娘 將她們編成 育成 強化，目標是成為無敵聯合艦隊的一款模...