1樓：業聽雲
二次函式的性質和規律主要包含以下幾個方面：
i.定義與定義表示式
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
1. y=ax^2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函式的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.） 則稱y為x的二次函式。
2. 二次函式表示式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函式的三種表示式
1. 一般式：y=ax^2;+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）
2. 頂點式：y=a(x-h)^2;+k [拋物線的頂點p（h，k）]
3. 交點式：y=a(x-x1)(x-x2) [僅限於與x軸有交點a（x1，0）和 b（x2，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關係: h=-b/2a k=(4ac-b^2;)/4a x1,x2=(-b±√b^2;-4ac)/2a
iii.二次函式的影象
在平面直角座標系中作出二次函式y=x�0�5的影象， 可以看出，二次函式的影象是一條拋物線。
iv.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）
2.拋物線有乙個頂點p，座標為 p [ -b/2a ，(4ac-b^2;)/4a ]。
當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ= b^2-4ac=0時，p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。
|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。 拋物線與y軸交於（0，c）
6.拋物線與x軸交點個數 δ= b^2-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點。 δ= b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。
δ= b^2-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。
v.二次函式與一元二次方程
特別地，二次函式（以下稱函式）y=ax^2;+bx+c， 當y=0時，二次函式為關於x的一元二次方程（以下稱方程）， 即ax^2;+bx+c=0 此時，函式影象與x軸有無交點即方程有無實數根。 函式與x軸交點的橫座標即為方程的根。
2樓：壬龍
開口方向及大小a＞0時開口向上 反之向下 絕對值a越大開口越小
求二次函式的影象及性質
3樓：匿名使用者
二次函式性質就是對係數a、b、c的討論：
a：a分為兩部分：符號和大小（即絕對值）
符號：正號說明開口向上，負號說明開口向下
大小：a的絕對值越大，拋物線開口越小（瘦）。a的絕對值越小，拋物線開口越大（胖）。
b：b不能單獨判斷，要與a結合判斷，有個口訣心法：左同右異（左右是指拋物線對稱軸在x軸的左右，同異是指a、b的符號是同號還是異號）。
就是說，如果對稱軸在x軸的左側，則a、b同號；如果對稱軸在x軸的右側，則a、b異號；由於a的符號在上面已經說了，所以b也就不難判斷了。值得一提的是如果對稱軸是y軸，則b=0
對稱軸公式：x=-b\2a
c：c表示拋物線與y軸的交點，影象過（0，c）點。如果拋物線通過原點，則c=0。
二次函式的函式性質
4樓：手機使用者
1.二次函式的影象是拋物線，但拋物線不一定是二次函式。開口向上或者向下的拋物線才是二次函式。
拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 。 對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線x=0）。
2.拋物線有乙個頂點p，座標為p 。當 時，p在y軸上；當 時，p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。當a>0時，拋物線開口向上；當a<0時，拋物線開口向下。|a|越大，則拋物線的開口越小。|a|越小，則拋物線的開口越大。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。當a與b同號時（即ab>0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。（可巧記為：左同右異）
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。拋物線與y軸交於(0, c）
6.拋物線與x軸交點個數： 時，拋物線與x軸有2個交點。 時，拋物線與x軸有1個交點。當 時，拋物線與x軸沒有交點。
當 時，函式在 處取得最小值 ；在 上是減函式，在 上是增函式；拋物線的開口向上；函式的值域是 。
當 時，函式在 處取得最大值 ；在 上是增函式，在 上是減函式；拋物線的開口向下；函式的值域是 。
當 時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函式是偶函式，解析式變形為y=ax²+c(a≠0)。
7.定義域：r
值域：當a>0時，值域是 ；當a<0時，值域是 。
奇偶性：當b=0時，此函式是偶函式；當b不等於0時，此函式是非奇非偶函式。
週期性：無
解析式：
①一般式：
⑴a≠0
⑵若a>0，則拋物線開口朝上；若a<0，則拋物線開口朝下；
⑶頂點： ；
⑷若δ>0，則函式影象與x軸交於兩點：
和 ；若δ=0，則函式影象與x軸切於一點：
若δ<0，函式影象與x軸無公共點；
②頂點式： 此時頂點為（h,k)
時，對應頂點為 ，其中, ；
③交點式：
函式影象與x軸交於 和 兩點。
什麼叫做二次函式？二次函式有哪些性質？
5樓：匿名使用者
這個**有詳細的說明。
6樓：匿名使用者
一般地，自變數x和因變數y之間存在如下關係：
一般式：y=ax^2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函式。
(一)知道二次函式的意義；
(二)會畫y=x2,y=ax2的圖象，並了解a的變化圖形的影響；
(三)會根據已知條件用待定係數法求出函式式y=ax2;
(四)掌握拋物線y=ax2圖象的性質；
(五)加深對於數形結合思想認識.
重點：知識二次函式的意義；會求二次函式式y=ax2;會畫y=ax2的圖象.
難點：描點法畫二次函式y=ax2的圖象，數與形相互聯絡.
(一)複習
1.一次函式式的一般形式是什麼?(y=kx+b(k≠0，k是常數))
2.一次函式中的「次」字是指什麼?(函式中自變數的指數)
總結二次函式的難點問題】對於二次函式，動區間定軸或定區間動軸的，（以開口
向上的為例）
【總結二次函式的難點問題】對於二次函式，動區間定軸或定區間動軸的，（以開口
向上的為例）3類問題：
① 求最大值，分2類討論，討論的標準是以給定區間[a,b]的中點（a＋b）
2為1個臨界點分2個區間討論；
②求最小值，分3類討論，討論的標準是以給定區間[a,b]的兩個端點為2個臨
界點分3個區間討論；
③求值域，分4類討論， 討論的標準是以給定區間[a,b]和區間[a,b]的中點（
a＋b）2的三個端點為3個臨界點分4個區間討論；
【注意】a、注意題中給出的函式的定義域或者引數的取值範圍。
b、開口向下的可以自己推導。
c、該辦法可以應用函式的思想解決一些恆成立的問題。
1．描點畫二次函式y=ax2的圖象應注意：列表時應以o為中心，均勻選取一些便於計算且有代表性的x的值．開始選值時帶有一定的試探性．描點後注意點與點之間的變化趨勢，然後用平滑的曲線按自變數由小到大（或由大到小）的順序平滑地連線起來．
2．拋物線的開口大小問題：
｜a｜越大，拋物線的開口越小；｜a｜越小，拋物線的開口越大．
3．拋物線y=ax2的特徵：
（1）對稱軸是y軸，也就是直線x=0，頂點是原點（0，0）．
（2）a＞0時，拋物線開口向上，並向上無限延伸，在y軸右側（x＞0時），y隨x的增大而增大，在y軸左側（x＜0時），y隨x的增大而減小；有最小值，當x=0時，最小值是0．
（3）a＜0時，拋物線開口向下，並向下無限延伸，在y軸右側（x＞0時），y隨x增大而減小；在y軸左側（x＜0時），y隨x的增大而增大；當x=0時，有最大值是0．
二次函式性質有哪些？具體講講
7樓：匿名使用者
定義域：r
值域：（對應解析式，且只討論a大於0的情況，a小於0的情況請讀者自行推斷）①[(4ac-b^2)/4a，正無窮）；②[t，正無窮）
奇偶性：當b=0時為偶函式，當b≠0時為非奇非偶函式 。
週期性：無
解析式：
①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0
⑵a>0，則拋物線開口朝上；a<0，則拋物線開口朝下；
⑶極值點：（-b/2a，(4ac-b²)/4a）；
⑷δ=b2-4ac,
δ>0，圖象與x軸交於兩點：
（[-b-√δ]/2a，0）和（[-b+√δ]/2a，0）；
δ=0，圖象與x軸交於一點：
（-b/2a，0）；
δ<0，圖象與x軸無交點；
特殊地，δ=4，頂點與兩零點圍成的三角形為等腰直角三角形；δ=12，頂點與兩零點圍成的三角形為等邊三角形。
②y=a(x-h)2+k[頂點式]
此時，對應極值點為（h，k），其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a
③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式（雙根式）]（a≠0）
對稱軸x=(x1+x2)/2 當a>0 且x≧(x1+x2)/2時，y隨x的增大而增大，當a>0且x≦（x1+x2）/2時y隨x
的增大而減小
此時，x1、x2即為函式與x軸的兩個交點，將x、y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連
用）。交點式是y=a(x-x1)(x-x2) 知道兩個x軸交點和另乙個點座標設交點式。兩交點x值就是相應x1 x2值。
增減性當a>0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而增大，y在對稱軸左側則相反
當a<0且y在對稱軸右側時，y隨x增大而減小，y在對稱軸左側則相反
求所有二次函式的規律、性質（詳細入內）
8樓：匿名使用者
你說的是拋物線與係數a,b,c的關係吧？
1.a決定開口方向和開口大小
當a>0時，開口向上，當a<0時，開口向下。
|a|越大，開口越小，反之越大。
2.a,b共同決定對稱軸
a,b同號則對稱軸在y軸左側，a,b異號則對稱軸在y軸右側，即：左同右異
3.c決定拋物線與y軸交點位置
當c>0時，交y軸於正半軸
當c=0，過原點
當c<0時，交y軸於負半軸
4.△=b�0�5-4ac決定拋物線與x軸的交點個數當△>0時，與x軸有兩個交點
當△=0時，與x軸有乙個交點
當△<0時，與x軸沒有交點
5.若拋物線經過點（1，0），則a+b+c=0，所以可令x=1，查詢此時的函式值，可判斷a+b+c的取值範圍
若拋物線經過點（-1，0），則a-b+c=0，所以可令x=-1，查詢此時的函式值，可判斷a-b+c的取值範圍
二次函式的影象過點 1, 5 3, 5 2,5 求二次函式表示式
列三元一次方程組，肯定是解題必須的步驟，可是首先看看三個點的相對位置，也能夠事先分析出拋物線的大概特徵，方便結果做檢查。2,5 1,5 3,5 看到這樣，我們就知道拋物線開口向下，頂點座標在 x軸上方，甚至可以算出，對稱軸是直線 x 1 列方程組，就是 4a 2b c 5 a a b c 5 b 9...
二次函式值域問題，怎樣求二次函式的值域
y x 2 4x 3 x 2 1，對稱軸是x 2，如果定義域是r，則值域是 1，如果定義域是 0，則值域是 1，如果定義域是 2，則值域是 1，如果定義域是 1，則值域是 1，如果定義域是 0，3 則值域是 1，3 給定的區間內不一定是遞增或遞減,可以有遞增又有遞減.如果給定的區間是閉區間 包括頂點...
關於二次函式影象的問題，二次函式圖象形狀二次函式的影象的形狀與什麼有關
1 a 4,8 有拋物線經過 0,0 0，8 4,8 這是頂點，從是對稱軸與它的交點可知 解得解析式為y i 2 x 2 4x 2 p 4,8 t q 8,t 由pe ab，直線ac解析式為y 2 x 16,得e 4 t 2,8 t 再得g 4 t 2,8 t 2 8 eg 8 t 2 8 8 t ...