x2 x 1x2 x 1 怎麼解要公式分解做

時間 2021-08-30 10:39:56

1樓:匿名使用者

元二次方程的解法有如下幾種:

第一種:運用因式分解的方法,而因式分解的方法有:(1)十字相乘法(又包括二次項係數為1的和二次項係數不為1,但又不是0的),(2)公式法:

(包括完全平方公式,平方差公式,).(3)提取公因式

例1:x^2-4x+3=0

本題運用因式分解法中的十字相乘法,原方程分解為(x-3)(x-1)=0 ,可得出x=3或1。

例2:x^2-8x+16=0

本題運用因式分解法中的完全平方公式,原方程分解為(x-4)^2=0 可以得出x1=4 x2=4(注意:碰到此類問題,一定要寫x1=x2=某個數,不能只寫x=某個數,因為一元二次方程一定有兩個根,兩個根可以相同,也可以不同)

例3:x^2-9=0

本題運用因式分解法中的平方差公式,原方程分解為(x-3)(x+3)=0 ,可以得出x1=3,x2=-3。

例4:x^2-5x=0

本題運用因式分解法中的提取公因式法來解,原方程分解為x(x-5)=0 ,可以得出x1=0 ,x2=5

第二種方法是配方法,比較複雜,下面舉一個例來說明怎樣用配方法來解一元二次方程:

x^2+2x-3=0

第一步:先在x^2+2x後加一項常數項,使之能成為一項完全平方式,那麼根據題目,我們可以得知應該加一個1這樣就變成了(x+1)^2。

第二步:原式是x^2+2x-3,而(x+1)^2=x^2+2x+1,兩個葵花子對比之後發現要在常數項後面減去4,才會等於原式,所以最後用配方法後得到的式子為(x+1)^2-4=0,最後可解方程。

還有一種方法就是開平方法,例如:x^2=121,那麼x1=11,x2=-11。

最後如果用了上面所有的方法都無法解方程,那就只能像樓上所說的用求根公式了。

定理就是韋達定理,還有根的判別式,韋達定理就是一元二方程ax^2+bx+c=0(a不等於0)二根之和就是-b/a,兩根之積就是c/a

舉例:x^2-4x+3=0 兩根之和就是-(-4/1)=4,兩根之積就是3/1=3,(你可以自己解一下,看看是否正確)。

因式分解法:把方程變形為一邊是零,把另一邊的二次三項式分解成兩個一次因式的積的形式,讓

兩個一次因式分別等於零,得到兩個一元一次方程,解這兩個一元一次方程所得到的根,就是原方程的兩個

根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例4.用因式分解法解下列方程:

(1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x2+3x=0

(3) 6x2+5x-50=0 (選學) (4)x2-2( + )x+4=0 (選學)

(1)解:(x+3)(x-6)=-8 化簡整理得

x2-3x-10=0 (方程左邊為二次三項式,右邊為零)

(x-5)(x+2)=0 (方程左邊分解因式)

∴x-5=0或x+2=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=5,x2=-2是原方程的解。

(2)解:2x2+3x=0

x(2x+3)=0 (用提公因式法將方程左邊分解因式)

∴x=0或2x+3=0 (轉化成兩個一元一次方程)

∴x1=0,x2=-是原方程的解。

注意:有些同學做這種題目時容易丟掉x=0這個解,應記住一元二次方程有兩個解。

(3)解:6x2+5x-50=0

(2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式時要特別注意符號不要出錯)

∴2x-5=0或3x+10=0

∴x1=, x2=- 是原方程的解。

(4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解為2 •2 ,∴此題可用因式分解法)

(x-2)(x-2 )=0

∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。

小結:一般解一元二次方程,最常用的方法還是因式分解法,在應用因式分解法時,一般要先將方程寫成一般

形式,同時應使二次項係數化為正數。

直接開平方法是最基本的方法。

公式法和配方法是最重要的方法。公式法適用於任何一元二次方程(有人稱之為萬能法),在使用公式

法時,一定要把原方程化成一般形式,以便確定係數,而且在用公式前應先計算判別式的值,以便判斷方程

是否有解。

配方法是推導公式的工具,掌握公式法後就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法

解一元二次方程。但是,配方法在學習其他數學知識時有廣泛的應用,是初中要求掌握的三種重要的數學方

法之一,一定要掌握好。(三種重要的數學方法:換元法,配方法,待定係數法)。

例5.用適當的方法解下列方程。(選學)

(1)4(x+2)2-9(x-3)2=0 (2)x2+(2-)x+ -3=0

(3) x2-2 x=- (4)4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

分析:(1)首先應觀察題目有無特點,不要盲目地先做乘法運算。觀察後發現,方程左邊可用平方差

公式分解因式,化成兩個一次因式的乘積。

(2)可用十字相乘法將方程左邊因式分解。

(3)化成一般形式後利用公式法解。

(4)把方程變形為 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0,然後可利用十字相乘法因式分解。

(1)解:4(x+2)2-9(x-3)2=0

[2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0

(5x-5)(-x+13)=0

5x-5=0或-x+13=0

∴x1=1,x2=13

(2)解: x2+(2- )x+ -3=0

[x-(-3)](x-1)=0

x-(-3)=0或x-1=0

∴x1=-3,x2=1

(3)解:x2-2 x=-

x2-2 x+ =0 (先化成一般形式)

△=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0

∴x=∴x1=,x2=

(4)解:4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0

4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0

[2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0

2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0

∴x1= ,x2=

例6.求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (選學)

分析:此方程如果先做乘方,乘法,合併同類項化成一般形式後再做將會比較繁瑣,仔細觀察題目,我

們發現如果把x+1和x-4分別看作一個整體,則方程左邊可用十字相乘法分解因式(實際上是運用換元的方

法) 解:[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0

即 (5x-5)(2x-3)=0

∴5(x-1)(2x-3)=0

(x-1)(2x-3)=0

∴x-1=0或2x-3=0

∴x1=1,x2=是原方程的解。

例7.用配方法解關於x的一元二次方程x2+px+q=0

解:x2+px+q=0可變形為

x2+px=-q (常數項移到方程右邊)

x2+px+( )2=-q+()2 (方程兩邊都加上一次項係數一半的平方)

(x+)2= (配方)

當p2-4q≥0時,≥0(必須對p2-4q進行分類討論)

∴x=- ±=

∴x1= ,x2=

當p2-4q<0時,<0此時原方程無實根。

說明:本題是含有字母系數的方程,題目中對p, q沒有附加條件,因此在解題過程中應隨時注意對字母

取值的要求,必要時進行分類討論。

練習:(一)用適當的方法解下列方程:

1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3

3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0

5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0

(二)解下列關於x的方程

1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0

練習參***:

(一)1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2

3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2=

6.解:(把2x+3看作一個整體,將方程左邊分解因式)

[(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0

即 (2x+9)(2x+2)=0

∴2x+9=0或2x+2=0

∴x1=-,x2=-1是原方程的解。

(二)1.解:x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解:x2-(+ )ax+ a• a=0

[x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0

∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0

∴x1= +b,x2= -b是 ∴x1= a,x2=a是

原方程的解。 原方程的解。

測試 選擇題

1.方程x(x-5)=5(x-5)的根是( )

a、x=5 b、x=-5 c、x1=x2=5 d、x1=x2=-5

2.多項式a2+4a-10的值等於11,則a的值為( )。

a、3或7 b、-3或7 c、3或-7 d、-3或-7

3.若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次項係數,一次項係數和常數項之和等於零,那麼方程必有一個

根是( )。

a、0 b、1 c、-1 d、±1

4. 一元二次方程ax2+bx+c=0有一個根是零的條件為( )。

a、b≠0且c=0 b、b=0且c≠0

c、b=0且c=0 d、c=0

5. 方程x2-3x=10的兩個根是( )。

a、-2,5 b、2,-5 c、2,5 d、-2,-5

6. 方程x2-3x+3=0的解是( )。

a、 b、 c、 d、無實根

7. 方程2x2-0.15=0的解是( )。

a、x= b、x=-

c、x1=0.27, x2=-0.27 d、x1=, x2=-

8. 方程x2-x-4=0左邊配成一個完全平方式後,所得的方程是( )。

a、(x-)2= b、(x- )2=-

c、(x- )2= d、以上答案都不對

9. 已知一元二次方程x2-2x-m=0,用配方法解該方程配方後的方程是( )。

a、(x-1)2=m2+1 b、(x-1)2=m-1 c、(x-1)2=1-m d、(x-1)2=m+1

答案與解析

答案:1.c 2.c 3.b 4.d 5.a 6.d 7.d 8.c 9.d

解析:1.分析:移項得:(x-5)2=0,則x1=x2=5,

注意:方程兩邊不要輕易除以一個整式,另外一元二次方程有實數根,一定是兩個。

2.分析:依題意得:a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7.

3.分析:依題意:有a+b+c=0, 方程左側為a+b+c, 且具僅有x=1時, ax2+bx+c=a+b+c,意味著當x=1

時,方程成立,則必有根為x=1。

4.分析:一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一個根為零,

則ax2+bx+c必存在因式x,則有且僅有c=0時,存在公因式x,所以 c=0.

另外,還可以將x=0代入,得c=0,更簡單!

5.分析:原方程變為 x2-3x-10=0,

則(x-5)(x+2)=0

x-5=0 或x+2=0

x1=5, x2=-2.

6.分析:δ=9-4×3=-3<0,則原方程無實根。

7.分析:2x2=0.15

x2=x=±注意根式的化簡,並注意直接開平方時,不要丟根。

8.分析:兩邊乘以3得:x2-3x-12=0,然後按照一次項係數配方,x2-3x+(-)2=12+(- )2,

整理為:(x-)2=

方程可以利用等式性質變形,並且 x2-bx配方時,配方項為一次項係數-b的一半的平方。

9.分析:x2-2x=m, 則 x2-2x+1=m+1

則(x-1)2=m+1.

中考解析

考題評析

1.(甘肅省)方程的根是( )

(a) (b) (c) 或 (d) 或

評析:因一元二次方程有兩個根,所以用排除法,排除a、b選項,再用驗證法在c、d選項中選出正確

選項。也可以用因式分解的方法解此方程求出結果對照選項也可以。選項a、b是隻考慮了一方面忘記了一元

二次方程是兩個根,所以是錯誤的,而選項d中x=-1,不能使方程左右相等,所以也是錯誤的。正確選項為

c。 另外常有同學在方程的兩邊同時除以一個整式,使得方程丟根,這種錯誤要避免。

2.(吉林省)一元二次方程的根是__________。

評析:思路,根據方程的特點運用因式分解法,或公式法求解即可。

3.(遼寧省)方程的根為( )

(a)0 (b)–1 (c)0,–1 (d)0,1

評析:思路:因方程為一元二次方程,所以有兩個實根,用排除法和驗證法可選出正確選項為c,而a、

b兩選項只有一個根。d選項一個數不是方程的根。另外可以用直接求方程根的方法。

4.(河南省)已知x的二次方程的一個根是–2,那麼k=__________。

評析:k=4.將x=-2代入到原方程中去,構造成關於k的一元二次方程,然後求解。

5.(西安市)用直接開平方法解方程(x-3)2=8得方程的根為( )

(a)x=3+2 (b)x=3-2

(c)x1=3+2 ,x2=3-2 (d)x1=3+2,x2=3-2

評析:用解方程的方法直接求解即可,也可不計算,利用一元二次方程有解,則必有兩解及8的平方

解不等式 x 1x 2 x,解不等式 x 1 x 2 x

解不等式 x 1 x x 1 1 解 原不等式等價於不等式 1 x 1 x x 1 1 因此可拆成兩個不等式 x 1 x x 1 1.1 x 1 x x 1 1.2 由 1 得1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 2x 2 x x 1 0 由於分母x x 1的判別式 1 4 3...

方程(x 3X 3) X 3X 1 X 2X 1 X 4 的解為

數學新綠洲 方程 x 3 x 3 x 3 x 1 x 2 x 1 x 4 去括號得 x 6x 9 x 9 x 3x 2 x 3x 4 即 6x 18 6 6x 12 解得 x 2 方程0.3分之2x 2又3分之2 0.2分之 1.4 3x 可化為 0.3分之2x 3分之8 0.2分之 1.4 3x ...

把二次型x1x2 x1x3 x1x4 x2x4化成標準型

f y1 y2 y1 y2 y1 y2 y3 y1 y2 y4 y1 y2 y4 y1 2 y2 2 y1y3 2y1y4 y2y3 y1 1 2 y3 y4 2 y2 2 1 4 y3 2 y2y3 y3y4 y4 2 y1 1 2 y3 y4 2 y2 1 2 y3 2 y3y4 y4 2 y1...