1樓：我行我素
微分方程解本身含待定常數，有不確定性，再出乙個y3也是可能的，比如：y=c1*e^x+c2*e^(3x)+e^x,但可合併到一起，還是y=（c1+1）*e^x+c2*e^(3x)=c1*e^x+c2*e^(3x)，
其它理解很正確，齊次和非齊次是有聯絡的，在齊次的基礎上求非齊次的解是比較方便的
2樓：百度文庫精選
內容來自使用者:軍哥
附錄a線性常微分方程
本課程的研究內容與常微分方程理論有非常密切的聯絡，因此在本附錄裡，我們將對線性常微分方程的知識——包括解的存在性、解的結構和求解方法做一些回顧和總結。
把包含未知函式和它的j階導數的方程稱為常微分方程。線性常微分方程的標準形式
（a.1）
其中n稱為方程的階數，和是給定的函式。可微函式在區間i上滿足方程（a.1），則稱其為常微分方程（a.
1）在i上的乙個解。，稱為方程（a.1）的自由項，當自由項時方程（a.
1）稱為是齊次方程，否則稱為非齊次方程。一般來說常微分方程的解是不唯一的，我們將方程的全部解構成的集合稱為解集合，解集合中全部元素的乙個通項表示式稱為方程的通解，而某個給定的解稱為方程的特解。
在本附錄裡，我們重點介紹一階和二階常微分方程的相關知識。
a.1一階線性常微分方程
一階線性常微分方程表示為
.（a.2）
當，方程退化為
,（a.3）
假設不恆等於零，則上式等價於
而，從而（a.3）的通解為
（a.4）
對於非齊次一階線性常微分方程（a.2），在其兩端同乘以函式
注意到上面等式的左端
因此有兩端積分
其中c是任意常數。進一步有
綜上有如下結論
定理a.1假設上連續，則一階線性非齊次常微分方程（a.1例1從定理a例解 由定理
根非齊次線性微分方程解的結構怎麼得知？
3樓：匿名使用者
解法一：設此微分方程是y''+py'+qy=f(x)，其中p,q是待定常數，f(x)是待定函式
。把y1,y2,y3代入，解得p,q,f(x)。此法麻煩。
解法二：內
利用容二階非齊次線性微分方程與齊次線性微分方程的解的特點。
y4=y3-y1=e^(-x)是對應的二階齊次線性微分方程的特解，所以-1是特徵方程的根。
y5=y1-y2-y4＝e^(2x)也是二階齊次線性微分方程的特解，所以2是特徵方程的根。
所以二階齊次線性微分方程的特徵方程是(r+1)(r-2)=0，即r²-r-2＝0，微分方程是y''-y'-2y=0。
y6=y1-y5＝xe^x是二階非齊次線性微分方程的特解，y6''-y6'-2y6＝(x+2)e^x-(x+1)e^x-2xe^x=(1-2x)e^x。
所以所求二階非齊次線性微分方程是y''-y'-2y=(1-2x)e^x。
為什麼二階齊次線性微分方程有兩個線性無關的特解
4樓：匿名使用者
因為如果y1與y2線性相關,則存在常數k,使得y2=ky1,所以y=c1y1+c2y2=[c1+kc2]y1,記c=c1+kc2,則y=c1y1+c2y2=cy1,不符合二階線性齊次微分方回程的通解的答
結構。微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。微分方程的解是乙個符合方程的函式。而在初等數學的代數方程，其解是常數值。
5樓：匿名使用者
因為有兩個係數任意兩個特解做組合的結果不是方程的通解，說明是維數不夠，所以應該是兩個線性無關的才行
6樓：shine丁麗
一般二階齊次微分方程的通解是由兩個線性無關的特解組合而成，由特徵方程來確定特解，然後再進行組合。而特徵方程的解有兩個：1、兩個不相等的根2、兩個相等的根3、一對共軛復根。
因此組成其通解特解有兩個
7樓：匿名使用者
你可以對該方程降階，就可以得到乙個一階二元的微分方程組，而一階二元的微分方程組是有兩個線性無關的特解的，因此原方程有兩個線性無關的特解。其實你可以直接從常數變易法的理論推導中看出來的。
8樓：俟來官新曦
如果y1與y2線性相關復，則
制存在常數k，使得y2=ky1，所以y=c1y1+c2y2=[c1+kc2]y1，記baic=c1+kc2，則y=c1y1+c2y2=cy1，不符合二階du線性齊次zhi微分方程的通解的dao結構。
二階常係數齊次線性微分方程 通解
9樓：匿名使用者
y'' - 2y' + 5y = 0,
設y = e^[f(x)],則
y' = e^[f(x)]*f'(x),
y''= e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x).
0 = y'' - 2y' + 5y = e^[f(x)]*[f'(x)]^2 + e^[f(x)]*f''(x) - 2e^[f(x)]*f'(x) + 5e^[f(x)],
0 = [f'(x)]^2 + f''(x) - 2f'(x) + 5,
當f(x) = ax + b, a,b是常數時。
f''(x) = 0,
f'(x) = a.
0 = a^2 - 2a + 5.
2^2 - 4*5 = -16 < 0.(2^2-4*5)^(1/2)=4i.
a = [2 + 4i]/2 = 1 + 2i或a = [2-4i]/2 = 1 - 2i.
y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1+2i)x + b] = e^[x+b]*e^(2ix)
或 y = e^[f(x)] = e^[ax+b] = e^[(1-2i)x + b] = e^[x+b]*e^(-2ix)
因2個解都滿足微分方程。所以，微分方程的實函式解為，
y = e^[x+b]*e^(2ix) + e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)+e^(-2ix)] = 2e^[x+b][cos(2x)]
或 y = e^[x+b]*e^(2ix) - e^[x+b]*e^(-2ix) = e^[x+b][e^(2ix)-e^(-2ix)] = 2e^[x+b][sin(2x)]
微分方程的實函式的通解為，
y = 2c1e^[x+b][cos(2x)] + 2c2e^[x+b][sin(2x)]
= e^x[2c1e^bcos(2x) + 2c2e^bsin(2x)]
其中，c1,c2 是任意常數。
記 c1 = 2c1e^b, c2 = 2c2e^b,
有 y = e^x[c1cos(2x) + c2sin(2x)]
c1,c2為任意常數。
這個，可能就是特徵方程無實數根時，通解的由來吧~~
【俺記憶力很差，公式都記不住，全靠傻推。。
這樣的壞處是費時，好處是，自己推1遍，來龍去脈就清楚1些了。
不知道，俺的傻推過程對你的疑問有點幫助沒~~】
10樓：吉祿學閣
r是微分方程的特徵值，它是通過方程r^2-2r+5=0來求出的。
將其看成一元二次方程，判別式=4-20=-16<0,說明方程沒有實數根，但在複數範圍內有根，根為： r1=1+2i r2=1-2i；
在複數領域中，z1=a+bi 和z2=a-bi, 及兩個複數的實數部分相等，虛數部分互為相反數的複數稱為共軛複數；所以本題的兩個特徵值符合這一關係，故謂共軛復根。
11樓：風長月
就是解r^2-2r+5=0這個方程
r^2-2r+1=-4
(r-1)^2=-4
所以r1=1+2i r2=1-2i
應該沒有什麼難理解的啊
12樓：匿名使用者
r^2-2r+5=0
δ=b^2-4ac=16<0
所以這個方程沒有實根，而是是2個共軛復根。
復根就是用複數
表示的根
複數是比實數更大範圍的數， 由實部和虛部組成。
虛部有個i，i^2=－1，如設實數m，n，則複數可以表示為m+ni，m是實部，ni為虛部。
其中m+ni和m-ni是共軛關係，就是虛部是相反數，實部相等的兩複數！
復根一元二次方程的解法是m=-b/2a n=(根號下|δ|)/2a希望您能明白
13樓：邢俊傑
r^2-2r+5=0 在實數域內你能
得到根麼？在複數域內則可得到一對共軛復根，事實上任何實係數一元多次方程若有虛根，則虛根必共軛成對出現！
當然你可能更想知道怎麼由這對共軛根得到該微分方程的通解，這問題個根據兩種情況解決
1）你只是學簡單地高等數學，或者搞工程技術，那麼只需要記住怎麼由該虛根求得微分方程通解就行了，就是記住公式，記住虛根實虛部和微分方程通解的對應關係（或稱為微分方程解的結構）
2）你對求解過程非常感興趣，或者是學專業數學的，那麼你可以參考任何一本專業講常微分方程的書籍，都能得到你的答案
二階常係數非齊次線性微分方程的求解
14樓：是你找到了我
二階常係數非齊次線性微分方程的表示式為y''+py'+qy=f(x)，特解
1、當p^2-4q大於等於0時，r和k都是實數，y*=y1是方程的特解。
2、當p^2-4q小於0時，r=a+ib,k=a-ib(b≠0)是一對共軛復根，y*=1/2（y1+y2）是方程的實函式解。
15樓：晏衍諫曉楓
求微分方程y''+3y'+2y=3xe^(-x)的通解
解：先求齊次方程
y''+3y'+2y=0的通解：
其特徵方程
r²+3r+2=(r+1)(r+2)=0的根r₁=-1，r₂=-2;
故齊次方程的通解為y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)
設其特解
y*=(ax²+bx)e^(-x)
y*'=(2ax+b)e^(-x)-(ax²+bx)e^(-x)=[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)
y*''=(-2ax+2a-b)e^(-x)-[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)
=[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)
代入原式得：
[ax²-(4a-b)x+2a-2b]e^(-x)+3[-ax²+(2a-b)x+b]e^(-x)+2(ax²+bx)e^(-x)=3xe^(-x)
化簡得(2ax+2a+b)e^(-x)=3xe^(-x)
故2a=3,
a=3/2;
2a+b=3+b=0,
b=-3.
故y*=[(3/2)x²-3x]e^(-x)
於是通解為y=c₁e^(-x)+c₂e^(-2x)+[(3/2)x²-3x]e^(-x)
16樓：匿名使用者
1.對於這種型別的二階非齊次微分方程，求解的方法：
（1）先求出對應的齊次微分方程的通解：y
（2）再求出該方程的乙個特解：y1
則方程的通解為：y+y1
2.方程特解的求法：
形如y''+py'+qy=acosωx+bsinωx 的方程，有如下形式的特解：y1=x^k(acosωx+bsinωx)
其中 a、b為待定係數，k的取值方法如下：
（1）當±iω不是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時，k=0
（2）當±iω是方程y''+py'+qy=acosωx+bsinωx對應的齊次方程的特徵根時，k=1
二階線性齊次微分方程通解求法
朋秀愛薩棋 解求特徵方程r 2 p x r q x 0解出兩個特徵根r1，r2 若r1 r2且r1，r2為實數，則y c1 e r1 x c2 e r2 x 若r1 r2且r1，r2為實數，則y c1 xc2 e r1 x 若r1，r2即a bi為複數，則y e ax c1 cosbx c2 sin...
已知某二階線性非齊次微分方程的解，求此微分方程
光信建昭 y1 xe x,y2 xe x e x,y3 xe x e 2x e x 那麼y2 y1 e x,y3 y2 e 2x是二階線性齊次微分方程的兩個解 故二階線性齊次微分方程的特解c1e x c2e 2x，1,2是特徵根，二階線性齊次微分方程為 y y 2y 0 設y y 2y f x y1...
對於二階齊次線性常微分方程方程的通解是其所有解的集合嗎
碩竹繆姬 y c1 y1 c2 y2 c是二階非齊次方程y ay by c的解，相當於在等式兩邊同是加上相同常數等式仍然成立。通解確實能通過取不同常數變成任何乙個解，也就是說它確實是所有解的集合，但c1 y1 c2 y2不一定是通解，必須要滿足y1,y2是其次方程的兩個線性無關解 另外針對樓下說有奇...