1樓：777簡簡單單
證: 設 a=(aij) 與任意的n階矩陣可交換, 則a必是n階方陣.
設eij是第i行第j列位置為1,其餘都是0的n階方陣.
則eija = aeij
eija 是 第i行為 aj1,aj2,...,ajn, 其餘行都是0的方陣
aeij 是 第j列為 a1i,a2i,...,ani, 其餘列都是0的方陣
所以當i≠j時, aij=0.
所以a是乙個對角矩陣.
設e(i,j)是對換i,j兩行的初等矩陣.
由e(i,j)a=ae(i,j)可得
aii=ajj
所以a是主對角線元素相同的對角矩陣, 即數量矩陣.
2樓：電燈劍客
首先明確一下，樓上的方法是正解。
當然技術上可以稍加改進：
令e(i,j)為(i,j)元等於1，其它元素等於0的矩陣，比較一下e(i,j)b=be(i,j)就可以得到b的乙個必要條件，取遍i,j即得結論。
3樓：╲°淚祭
寫起來很麻煩。這是個充要條件。設n階方陣為a=（aij)，設b=（bij)與a可交換，ab=ba,比較就行，會發現b的非主對角元全是0，主對角元是同樣的數
如何證明：與任意乙個n階方陣相乘都可交換的方陣必為數量矩陣？
4樓：匿名使用者
不妨設b為可逆矩陣
則由於ab=ba
所以對於任意可逆陣b都有
b-1ab=a
即a的任意線性變換仍是a自己這樣的矩陣只能是ki
5樓：卞興鄢霜
證:設a=(aij)與任意的n階矩陣可交換,則a必是n階方陣.
設eij是第i行第j列位置為1,其餘都是0的n階方陣.
則eija=aeij
eija是第i行為aj1,aj2,...,ajn,其餘行都是0的方陣aeij是第j列為a1i,a2i,...,ani,其餘列都是0的方陣所以當i≠j時,aij=0.
所以a是乙個對角矩陣.
設e(i,j)是對換i,j兩行的初等矩陣.
由e(i,j)a=ae(i,j)可得
aii=ajj
所以a是主對角線元素相同的對角矩陣,即數量矩陣.
證明：與任意n階方陣乘法可交換的方陣矩陣一定是數量陣。
6樓：電燈劍客
首先明確一下，樓上的方法是正解。
當然技術上可以稍加改進：
令e(i,j)為(i,j)元等於1，其它元素等於0的矩陣，比較一下e(i,j)b=be(i,j)就可以得到b的乙個必要條件，取遍i,j即得結論。
7樓：╲°淚祭
寫起來很麻煩。這是個充要條件。設n階方陣為a=（aij)，設b=（bij)與a可交換，ab=ba,比較就行，會發現b的非主對角元全是0，主對角元是同樣的數
證明：如果矩陣a與所有的n階矩陣可交換，則a一定是數量矩陣，即a＝ae
8樓：諾諾百科
記a=aij
用eij將第i行第j列的元素表示為1，而其餘元素為零的矩陣。因a與任何矩陣均可交換，所以必與e可交換。由aeij=eija得aji=aij，i=j=1,2,3,...
n及aij=0i不等於j，故a是數量矩陣。
例如：設矩陣a=(aij)
則xe－a為其特徵矩陣。
當a＝ae時候，xe－a的不變因子為x-a,...,x-a(共n個)因而a的不變因子不是常數1
當a的不變因子都不是常數時，即是a的不變因子均滿足次數大於0，不妨設不變因子分別為d1(x),...,dn(x)。
因為d1(x)|d2(x)d2(x)|d3(x),...,dn-1(x)|dn(x),且|xe-a|的次數為n，且等於d1(x)d2(x)...dn(x)，所以a的全部不變因子都相同，不妨設為x－a，因此a相似於乙個數量陣，不妨設a＝x^(ke)x，從而a＝kx^x=ke，即是a是數量矩陣。
9樓：陸丹壬娟
先證與所有對角矩陣可交換的矩陣都是對角矩陣，所以a一定是對角矩陣
再證a與所有只有乙個元素為1的矩陣（e(i,j)）都可交換即得
設矩陣a與任意n階方陣可交換，求a
10樓：小小小魚生活
矩陣a與任意n階方陣可交換，求a過程：
矩陣常見於統計分析等應用數學學科中。 在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是乙個已持續幾個世紀以來的課題，是乙個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。
針對特定矩陣結構定製的演算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。 無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。無限矩陣的乙個簡單例子是代表乙個函式的泰勒級數的導數運算元的矩陣。
11樓：
a是標量矩陣（即乙個常數再乘以單位陣）
證明很簡單，把a設出來，=(aij)
然後分別讓它和eij可交換（eij是ij位置上為1，其餘全為0的矩陣）
再兩邊作比較就可以了
學霸求證：與任意n階矩陣都可以交換的矩陣a只能是數量矩陣，即a=ke.
12樓：兔老大公尺奇
任意2個線性無關向量x,y
==>a(x+y)=a(x+y)
=ax+ay=bx+cy
a=b=c
==>a
只有唯一特徵值
a.==>a
=ae=a(e1,e2,..,en)
=(ae1,ae2,..,aen)=
=(ae1,ae2,..,aen)
=ae。
擴充套件資料解題方法：
先證與所有對角矩陣可交換的矩陣都是對角矩陣，所以a一定是對角矩陣。
再證a與所有只有乙個元素為1的矩陣（e（i，j））都可交換即得。
記a＝aij
用eij將第i行第j列的元素表示為1，而其餘元素為零的矩陣。
因a與任何矩陣均可交換，所以必與e可交換。
由aeij＝eija
得aji＝aij
i＝j＝1，2，3，．．．n及aij＝0
i不等於j
故a是數量矩陣。
13樓：匿名使用者
可以如圖中那樣取一些容易計算的矩陣就可以推出結果了。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！
設a，b都是n階方陣，且a 0，證明ab與ba相似
證明 由於矩陣a可逆，因此a 1存在，故 a 1 ab a a 1a ba ba，故ab與ba相似 數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是乙個幾個世紀以來的課題，是乙個不斷擴大的研究領域。矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。針對特定矩陣結構 如稀疏矩陣和近角矩陣 定製的演算法在有限元...
設ab是n階方陣若ab和，設A,B是n階方陣,若A B和A B可逆，證明（A B） （B A）（這個表示方陣）可逆
1 證明 若 a 可逆，根據 a的逆矩陣 與 a的伴隨矩陣 關係式a 1 a a 得伴隨矩陣為 a a a 1 a 於是 a 1 a a 1 1 a a b 類似的，套用伴隨矩陣的公式 a 可得a 1 的伴隨矩陣是 a 1 a 1 a 1 1 1 a a a a c 由 b c 兩式可知 a 1 a...
設A為n階方陣，若A E，證明A的特徵值只能是
向日葵 證明 設 是a的特徵值則 2 1 是 a 2 e 0 的特徵值 定理 而零矩陣的特徵值只能是0所以 2 1 0所以 1 或 1。定義 設a是n階方陣，如果數 和n維非零列向量x使關係式 ax x 1 成立，那麼這樣的數 稱為矩陣a特徵值，非零向量x稱為a的對應於特徵值 的特徵向量 1 式也可...