a b c 3 abc1 3a 0,b 0,c 0 ,能幫我寫一下這個不等式的證明過程嗎

1樓：匿名使用者

上述證法都有問題，a+b+c怎麼就大於零了？

其實證法很多，可以用卡孫不等式，柯西不等式，幾何方法等，最簡單的是數學歸納法：

你所問的可以拓展成：算術平均值不小於幾何平均值，即：

(a1+.....+an)/n ≥ (a1a2.an)^(1/n) (當且僅當a1=...=an時，取等號)

當n=3時，即是你題設。

證明：1°

當n=1時，不等式顯然成立；

當n=2時，原不等式為：a1+a2 ≥2 (a1a2)^(1/2)，即：

a1^2+a2^2 ≥2a1a2

∵根據(a1-a2)^2≥0可以知道，該不等式一定成立，且a1=a2時，取等號；

2°假設n=k時，原不等式也成立，則：

(a1+...+ak)/k ≥ (a1...ak)^(1/k)

令 tk = (a1+...+ak)/k，

當n=k+1時，

t(k+1) = [a1+...+ak+a(k+1)]/(k+1)，該式可以改寫成：

t(k+1) = a1+...+ak+a(k+1) + (k-1)t(k+1)] / 2k ，則：

2t(k+1) = (a1+..+ak)/k + [a(k+1) +t(k+1)+t(k+1)+...+t(k+1)]/k

≥ (a1...ak)^(1/k) + [a(k+1)t(k+1)^(k-1)]^(1/k)

令 m = (a1...ak)^(1/k) + [a(k+1)t(k+1)^(k-1)]^(1/k) ，

根據1°中的不等式(a1-a2)^2≥0，可知：a1+a2 ≥ 2 (a1a2)^(1/2) (當a1,a2≥0

時，且a1=a2取等號)，因此：

m ≥ 2^(1/2)

當a1a2...ak=a(k+1)t(k+1)^(k-1)時取等號，即a1=a2...=ak=a(k+1)時取等號

所以：t(k+1)^2 ≥ [(a1...ak)^(1/k)]| * |[a(k+1)t(k+1)^(k-1)]^(1/k)

t(k+1) ≥ [a1a2...a(k+1)]^(k+1)

∴當n=k+1時，原不等式也成立，當a1=a2...=a(k+1)時取等號

綜合根據數學歸納法，原不等式成立。

當n=3時，自然成立，即：

a+b+c ≥ 3 (abc)^(1/3) (當且僅當a=b=c時取等號)

2樓：匿名使用者

a³+b³+c³-3abc

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=1/2×(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)

=1/2×(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] ≥0

a³+b³+c³≥3abc

令x=a^1/3 y=b^1/3 z=c^1/3也就是x+y+z>=3(xyz)^(1/3)得證

3樓：

算術平均》幾何平均，n個正數都成立的。

證明 a+b+c大於3(a*b*c)^(1/3)

4樓：清山鶴

a³+b³+c³-3abc

=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)=1/2×(a+b+c)(2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac)

=1/2×(a+b+c)[(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²] ≥0

a³+b³+c³≥3abc

(a+b+c)³≥27abc

abc≤[(a+b+c)/3]³

望採納。。。碼字不易。

設a，b，c是正實數，求證：a^ab^bc^c≥（abc）*1/3(a+b+c)

5樓：西域牛仔王

因為 a、b 是正實du數，如果 a>b ，zhi則dao a-b>0 ，內a/b>1 ，因此 (a/b)^(a-b)>1 ，

如果 a=b ，顯然 (a/b)^(a-b)=1 ，

如果 a=1 ，化簡得 a^a*b^b>=a^b*b^a ；