1樓：
假設素數只有有限個，記為p1，p2，……pn。考慮這個數（p1p2……pn）+1=a，則a為合數，故必有素因子q。由於只有有限個素數，q必是上述n個素數中的乙個。
但是，a除以上述n個素數中的任何乙個都餘1，這與n是q的倍數矛盾！
所以，素數有無窮多個。
2樓：網友
今天手癢了，我來寫乙個。
證法如下：設素數只有有限個，比方說n個。
那麼可以設這n個素數分別是p1,p2,p3,..pn,且可以設p1pn ,所以根據假定p是合數。
把p除以任意乙個素數pi 可以發現都不能整除，餘數都是1。再看看把p除以某乙個合數，如果p可以整除某乙個合數，由於合數一定可以分解為素數的積，所以p也必定可以整除該合數所分解出的素數，可是剛才已經說了，p是不能整除任何素數的，所以我們假設的p可以征程某個合數是不成立的，也即p不能整除任何合數。這樣p就不能整除 除1和p本身外的其他任何數，所以p是質數。
這和前面根據假設得出的p是合數矛盾。所以質數是無窮多的。
素數有無窮多個?
怎樣證明素數有無窮多個
3樓：匿名使用者
這是《數學天書中的證明》中的第乙個問題。書中列舉了6種證法，這裡只說一下大概思路：
（1）假設素數有限，所有素數之積加一不能被任何素數整除，於是我們得到乙個新的素數，矛盾。
（2）因為任意兩個費馬數互素，而費馬數有無窮多個，因此有無窮多個素數。
（3）令p為最大的素數，考慮梅森數2^p - 1的素因子。任意乙個該數的素因子都大於p，矛盾，所以不存在最大的素數。
（4）log(x)是素數計數函式的乙個下界，因為log(x)無界，所以素數無限。
（5）構造整數集上的乙個拓撲，使素數和該拓撲上的某些既開又閉的集合一一對應，從而匯出乙個開集，然後證明不可能是開集。
（6）證明。
如何證明形如4k 3的素數有無窮多個
反證法假設4k 1形素數只有n個，分別為p1,p2,pn考慮n 4p1p2 pn 1,設n的標準分解為n q1q2 qm，即有4p1p2 pn 1 q1q2 qn 因為qi i 1,2,m 為質數，所以只有4k 1和4k 1形若某個qi為4k 1形，則有qi pj i 1,2,m j 1,2,n 則...
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