1樓：罪惡王冠
（i）由點（e，f（e））處的切線方程與直線2x-y=0平行，
得該切線斜率為2，即f′（e）=2．
又∵f′（x）=a（lnx+1），令a（lne+1）=2，解得a=1，
∴f（x）=xlnx．
（ii）由（i）知f′（x）=lnx+1，
顯然f′（x）=0時x=e-1，當x∈（0，1
e）時，f′（x）＜0，
∴函式f（x）在（0，1
e）上單調遞減．
當x∈(1
e，+∞)時，f′（x）＞0，
∴函式f（x）在(1
e，+∞)上單調遞增，
①0＜t＜1
e＜t+2，即0＜t＜1
e時，f(x)
min＝f(1
e)=-1e；
②1e≤t＜t+2，即t≥1
e時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，f（x）min=f（t）=tlnt；
∴f(x)
min＝?1e
，0＜t＜1
etlnt，t≥1e；
（ⅲ）k=f′(x
)?f′(x)x
?x=lnx
?lnxx?x
，要證x＜1k
＜x，即證x
＜x?x
lnx?lnx
＜x，等價於1＜xx?1
lnxx＜xx
，令t=x
x，則只證1＜t?1
lnt＜t，由t＞1，知lnt＞0，故等價於證明lnt＜t-1＜tlnt，
①設g（t）=t-1-lnt（t≥1），則g'（t）=1-1
t＞0，故g（t）在（1，+∞）上遞增，
∴t＞1時，g（t）=t-1-lnt＞g（1）=0，即t-1＞lnt；
②設h（t）=tlnt-t+1（t≥1），則h'（t）=lnt≥0，故h（t）在[1，+∞）上單調遞增，
∴當t＞1時，h（t）=tlnt-t+1＞h（1）=0，即tlnt＞t-1；
由①②可知，lnt＜t-1＜tlnt成立，故x＜1k＜x．
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