1樓：是你找到了我
設λ1，λ2是兩個a的不同特徵值，α1，α2分別是其對應的特徵向量；
根據特徵值和特徵向量的定義有a * α1 = λ1 * α1，a * α2 = λ2 *α2；
分別取轉置，以及兩邊右乘α2和α1，得α1' * a' * α2 =λ2 * α1' * α2，α2' * a' * α1 =λ1 * α2' * α1 ；
兩式相減並，得到α2' * a' * α1=（α2' * a' * α1)'= α1' * a' * α2 ；
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * a' * α2 - α2' * a' * α1 = α1' * a' * α2 - α1' * a' * α2 =0；
又因為λ1 - λ2≠ 0；故 α1' * α2 = 0；所以有α1與α2 正交。
2樓：電燈劍客
如果λ1和λ2是實對稱陣a的不同特徵值
那麼對於λ1的任何特徵向量x1和λ2的任何特徵向量x2總滿足x1^tx2=0
也就是說不同特徵值對應的特徵向量永遠是正交的，正交化過程不會改變這條性質
而對於一個重特徵值對應的多個特徵向量，不管怎麼做正交化還是特徵向量
實對稱矩陣特徵向量正交化問題
3樓：
對。對於非實對稱矩陣，其不同特徵值對應的特徵向量可以通過史密斯正交化實現正交。
實對稱矩陣不同特徵值對應的特徵向量正交，為什麼這裡2對應的兩個向量可以正交？！
4樓：匿名使用者
屬於同一個特徵值的特徵向量可以經schmidt正交化過程化為正交的特徵向量
5樓：初高中本科數學藏經閣
對於有重根的可對角化的矩陣，
重根對應的特徵向量如果不是正交的，是可以通過類似施密特正交化完成正交的。
也就是說重根對應的特徵向量是可以正交的，前提是矩陣可對角化，這裡是實對稱陣，一定可對角化，自然可以找到正交的特徵向量。
實對稱矩陣同一個特徵值不同的特徵向量什麼時候正交 5
6樓：河傳楊穎
n*n的實對稱矩陣一定存在 n個相互正交的特徵向量，因為實對稱矩陣可以特徵值分解為 qdq‘，其中 q為正交矩陣，d為對角陣（對角線元素為特徵值）。
這不是說相同特徵值的不同的特徵向量一定相互正交，而是說對於相同特徵值也一定存在一組相互正交的特徵向量。假設對於某個特徵值（重根），你求得了它的一組不相互正交的特徵向量，那麼可以通過正交化把他們變成一組相互正交的特徵向量。
證明如下：
設λ1,λ2是兩個a的不同特徵值，α1,α2分別是其對應的特徵向量，有a * α1 = λ1 * α1,a * α2 = λ2 *α2分別取轉置。
分別兩邊右乘α2和α1，得α1' * a' * α2 =λ2 * α1' * α2,α2' * a' * α1 =λ1 * α2' * α1
對應相減並注意到α2' * a' * α1=（α2' * a' * α1)'= α1' * a' * α2
所以 (λ1 - λ2) α1' * α2 = α1' * a' * α2 - α2' * a' * α1 = α1' * a' * α2 - α1' * a' * α2 =0
而 λ1 - λ2≠ 0
因此 α1' * α2 = 0
即 α1與α2 正交。
正交矩陣的相關性質
1、方陣a正交的充要條件是a的行（列）向量組是單位正交向量組；
2、方陣a正交的充要條件是a的n個行（列）向量是n維向量空間的一組標準正交基；
3、a是正交矩陣的充要條件是：a的行向量組兩兩正交且都是單位向量；
4、a的列向量組也是正交單位向量組；
5、正交方陣是歐氏空間中標準正交基到標準正交基的過渡矩陣。
實對稱矩陣的主要性質：
1、實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2、實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3、n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4、若λ具有k重特徵值 必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λe-a)=n-k，其中e為單位矩陣。
7樓：嚴正平無靜
思路大概是這樣的設實對稱矩陣a的兩不同特徵值k1，k2對應的特徵向量a，b，則a‘ab=k1*a’b此式的左邊為一實數，故其轉置與其相等，再由a為實對陣矩陣，有a‘ab=b'a‘a=b’aa=k2*b'a即k1*a’b=k2*b'a又由a’b=b'a，k1不等於k2故a’b=b'a=0
8樓：金麟子
如果題目是實對稱矩陣，需要你將實對稱對角化，且對角化的可逆矩陣必須是正交矩陣，就需要對求出的實對稱矩陣的線性無關特徵向量進行施密特單位正交化。而有時一個特徵值對應好幾個特徵向量，即重根。這裡要注意，重根特徵值對應的特徵向量不一定不是正交的，如果正交就不需要正交化，如果不正交就需要進行正交化！
兩個向量是否正交判定將兩個向量相乘看是否為0，為0則正交，不為0則不正交需要進行正交化。對稱矩陣的兩個不同的特徵值對應的特徵向量一定正交，自行證明。所以特徵向量正交只針對題目要求用正交矩陣對角化，且實對稱矩陣所求特徵值存在重根特徵值，而且這一個重根特徵值對應的特徵向量不正交，才需要正交化！
有點囉嗦了，怕你們聽不懂。。。
為什麼實對稱矩陣要施密特正交化才能求出那個可逆矩陣來，從而相似對角化
9樓：匿名使用者
實對稱矩陣可以按照一般程式進行相似成對角矩陣。但是你取轉置發現這個相似矩陣很特別，他的轉置就是他的逆。（叫正交矩陣）
所以對稱矩陣求相似就有其特殊的方法—正交化。並且正交化遠比一般矩陣數值穩定。
10樓：匿名使用者
因為實對稱bai矩陣不同特徵值對應的du特徵向量一定正交。而zhi我們只需要把相dao同特徵值對應的版幾個特徵向量正交化即可權。
而斯密特正交化還有一特點，不僅正交化，還單位化，即每個向量的模都是1。
最後我們得到一組相互正交，而且模都是1的向量組。這個向量組有個特點，任意一個向量與自己做內積，結果都等於1，而其它向量的內積都等於0。於是這樣的向量組構成的矩陣，轉置即為它的逆。
即變換矩陣p的逆，只要轉置一下即可得到。
11樓：匿名使用者
施密特正交化並不是必須的, 只是為了方便求逆而已
實對稱矩陣對角化時求出的特徵向量可不可以不用將其單位化，正交化
12樓：池素枝宜燕
若求可逆矩陣p,
使p^-1ap
為對角矩陣,
就不用正交單位化
若求正交矩陣,
則對於單根特徵值,
只需單位化
對於重根特徵值,
先正交化,
再單位化
13樓：葉良黃畫
當然是可以的，只不過這時相似矩陣就不是正交矩陣了，p的逆就不等於p的轉置了，就得去求逆了
如果實對稱矩陣有n個不同的特徵值，那麼它的特徵向量就是正交的了，無需正交化，問題同上，你可以不單位化，只不過這個相似矩陣就不是正交陣了，那得求逆
為什麼實對稱矩陣一定可以對角化
實對稱矩陣一定可以對角化，因為相似對角化的充要條件是n階方陣a有n個線性無關的特徵向量，充分條件是a有n個不同的特徵值，而n個不同的特徵值一定對應n個線性無關的特徵向量，實對稱矩陣n重特徵值對應n個線性無關的特徵向量，所以實對稱矩陣一定可以對角化。 遲暢鐸之桃 1.因為特徵向量經過施密特正交化之後不...
實對稱矩陣有哪些性質，實對稱矩陣的特徵值和特徵向量各有什麼特殊性質？
雨說情感 1 實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。2 實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。3 n階實對稱矩陣a必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。4 若a具有k重特徵值 0 必有k個線性無關的特徵向量，或者說秩r 0e a 必為n k，其中e為單位矩陣。...
1 矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關嗎2 相同特徵值對應的特徵向量會不會線性無關
吉長青藍壬 1 矩陣不同的特徵值對應的特徵向量一定線性無關證明如下 假設矩陣a有兩個不同特徵值k,h，相應特徵向量是x,y其中x,y線性相關，不妨設y mx，因此，得到ax kx ay hy hmx 即amx hmx 而根據有 amx kmx 得到 0 h k mx 由於特徵向量x非零向量，而h,k...