複變函式問題,一個複變函式問題

時間 2021-08-30 09:05:43

1樓:匿名使用者

這個題實際上是要說明對於複變函式而言,冪函式可能是多值的。所謂的多值,就是指對於一個自變數z,z^α會有多個取值。在實變函式裡面,這種情況出現得比較少,只有反三角函式會出現多值,而且對這類多值函式取它們的“主值”,這時候多值函式就變成單值函式了。

但是在複變函式裡面,為了考慮方程所有的根,這時候反而希望兼顧函式的所有值,而不是單個的值。在這個題,決定函式多值性的是整數k。當α為整數的時候,2kα必定是偶數,而函式exp(z)是周期函式,所以當自變數相差2πi的整數倍的時候,函式值是相同的,也就是說函式值和整數k無關,所以這個時候是單值的。

當α是有理數的時候,不妨假設α=p/q(既約分數),那麼2kα=2kp/q。當k1和k2之間相差q的整數倍的時候,2k1α和2k2α之間的差也是偶數,這個時候還是因為exp(z)的週期性,從而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的,因此當不同的k之間相差q的整數倍的時候,函式值是相等的。而如果不同的k之間相差不足q的整數倍,也就是說被q除還有餘數,那麼函式值就有可能不同。

因為不同的餘數恰好有0,1,2,……,q-1共q種可能,所以會有q個值。這個時候,冪函式z^α是多值函式,且有q個值。當α是無理數的時候,就不滿足整除餘數的週期性了,所以對於不同的k值,就有不同的函式值,因此z^α函式也是多值函式,函式值的個數是可數無窮多個。

2樓:匿名使用者

被積函式的分子、分母部分均為整函式,分母的零點即為函式的奇點。

cos z的零點為π/2±kπ(k是整數),所以cos z在積分迴路內、邊界上均不含奇點,即被積函式在包含積分路徑的某個區域內解析(如|z|<1.1),所以在迴路上的積分為0.答案自然就選b了。

複變函式問題?

3樓:電燈劍客

這裡用的是一階導數的cauchy積分公式, (sinz)'=cosz在pi/2處為0, 所以結果就是0, 不用管前面差一個2*pi*i的倍數

一個複變函式問題

4樓:黃徐升

3^(3-i)=3^3*3^(-i)

=27*e^[ln(3)*(-i)]

=27*e^

=27*

=27*

複變函式的問題

5樓:徐少

解析://尤拉公式(推導省略):

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/2cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2~~~~~~~~~~~~~~~

設arctanz=θ,則tanθ=z

sinθ/cosθ=z

[e^(iθ)-e^(-iθ)]/[e^(iθ)+e^(-iθ)]=z/1

[2e^(iθ)]/[2e^(-iθ)]=(1+z)/(1-z)e^(2iθ)=(1+z)/(1-z)

ln[e^(2iθ)]=ln[(1+z)/(1-z)]2iθ=ln[(1+z)/(1-z)]

θ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]此為公式:

arctanz=θ⇒θ=[1/(2i)]●ln[(1+z)/(1-z)]

~~~~~~~~~~~~~~~~~~

ps://很早就看到你的問題了//

//早已收藏,忙,未回答//

//等比定理:

a/b=c/d⇒[(b+a)/(b-a)]=[(d+c)/(d-c)]

6樓:韜子活寶

cosz=(e^iz+e^-iz)/2,sinz=(e^iz-e^-iz)/i2,tanz=sinz/cosz,設z=cosw,那麼稱w為z的反餘弦函式,記作w=arccosz.由z=cosw==(e^iw+e^-iw)/2,得e^2iw-2ze^iw+1=0,方程的根為e^iw=z+根號(z^2-1),兩邊取對數得arccosz=-iln(z+根號(z^2-1)).用上面同樣的步驟可得到arctanz=-i/2ln【(1+iz)/(1-iz)】.

7樓:端禎青麗雅

並不是任何f(x,y)形式的函式都可以化成f(z)形式的式子。

例如:x+y.

x-iy,

2x+iy

等等。都不能化成f(z)的形式。

但是如果這個f(x,y)的確是z=x+iy的一個函式,那麼就可以用你的老師給你的

方法直接寫出來了。這是因為:假如f(x,y)=g(z)=g(x+iy).

在g(x+iy)中令y=0,得到g(x).把這個g(x)中的x換成z.就是g(z)

即:g(x+iy)中令y=0,x換成z.就得到g(z)。

注意f(x,y)=g(x+iy).

所以f(x,y)中令y=0,x換成z.就得到g(z)。[f(x,y)的z表示式!]。

(本題例子g(z)=i(2z-z²).如果你不怕麻煩,可以用x=z-iy.代入原式。

化簡之後,含y的項都會消去,最後只留下i(2z-z²).)

8樓:改然錢如之

不可能,因為連續性導致f(0)=0,

然而解析函式0點都是孤立的(這是一個定理,需要使用級數表示式證明),也就不可能在z=0附近有無窮多的零點。

9樓:騰秀榮夕衣

這個題實際上是要說明對於複變函式而言,冪函式可能是多值的。所謂的多值,就是指對於一個自變數z,z^α會有多個取值。在實變函式裡面,這種情況出現得比較少,只有反三角函式會出現多值,而且對這類多值函式取它們的“主值”,這時候多值函式就變成單值函式了。

但是在複變函式裡面,為了考慮方程所有的根,這時候反而希望兼顧函式的所有值,而不是單個的值。在這個題,決定函式多值性的是整數k。當α為整數的時候,2kα必定是偶數,而函式exp(z)是周期函式,所以當自變數相差2πi的整數倍的時候,函式值是相同的,也就是說函式值和整數k無關,所以這個時候是單值的。

當α是有理數的時候,不妨假設α=p/q(既約分數),那麼2kα=2kp/q。當k1和k2之間相差q的整數倍的時候,2k1α和2k2α之間的差也是偶數,這個時候還是因為exp(z)的週期性,從而得到exp(i2k1α)和exp(i2k2α)是相等的,因此當不同的k之間相差q的整數倍的時候,函式值是相等的。而如果不同的k之間相差不足q的整數倍,也就是說被q除還有餘數,那麼函式值就有可能不同。

因為不同的餘數恰好有0,1,2,……,q-1共q種可能,所以會有q個值。這個時候,冪函式z^α是多值函式,且有q個值。當α是無理數的時候,就不滿足整除餘數的週期性了,所以對於不同的k值,就有不同的函式值,因此z^α函式也是多值函式,函式值的個數是可數無窮多個。

10樓:光蘭有昭

(u,v應該分別是f(z)的實部和虛部吧)由條件知au(x,y)+bv(x,y)=c。

兩邊對x求偏導,得a(∂u/∂x)+b(∂v/∂x)=0;

兩邊對y求偏導,得a(∂u/∂y)+b(∂v/∂y)=0。

而由f解析,由cauchy-riemann定理知∂u/∂x=∂v/∂y,∂u/∂y=-∂v/∂x,所以方程成為

a(∂u/∂x)-b(∂u/∂y)=0;

b(∂u/∂x)+a(∂u/∂y)=0。

其中a,b不全為零,易解得∂u/∂x=∂u/∂y=0,所以u是常數;

再由cauchy-riemann定理知∂v/∂x=∂v/∂y=0,所以v是常數。

所以f(z)是常數。證畢

複變函式題目求解

11樓:勤奮的

復解析函式其實就是可以在某個區域泰勒,這種多項式形式的顯然是解析的。它的導數就是平常的求導。f'(z)=-3+10 z。

12樓:松茸人

複變函式,是指以複數作為自變數和因變數的函式[1] ,而與之相關的理論就是複變函式論。解析函式是複變函式中一類具有解析性質的函式,複變函式論主要就是研究複數域上的解析函式,因此通常也稱複變函式論為解析函式論。

複數的概念起源於求方程的根,在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裡,人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展,這類數的重要性就日益顯現出來。

復變數復值函式的簡稱。設a是一個複數集,如果對a中的任一複數z,通過一個確定的規則有一個或若干個複數w與之對應,就說在複數集a上定義了一個複變函式,記為

w=ƒ(z)

這個記號表示,ƒ(z)是z通過規則ƒ而確定的複數。如果記z=x+iy,w=u+iv,那麼複變函式w=ƒ(z)可分解為w=u(x,y)+iv(x,y);所以一個複變函式w=ƒ(z)就對應著一對兩個實變數的實值函式。除非有特殊的說明,函式一般指單值函式,即對a中的每一z,有且僅有一個w與之對應。

例如,f(z)=

是複平面上的複變函式。但f(z)=

在複平面上並非單值,而是多值函式。對這種多值函式要有特殊的處理方法(見解析開拓、黎曼曲面)。

對於z∈a,(z)的全體所成的數集稱為a關於的像,記為(a)。函式規定了a與(a)之間的一個對映。例如在w=z2的對映下,z平面上的射線argz=θ與w平面上的射線argw=2θ對應;如果(a)∈a*,稱把a映入a*。

如果(a)=a*,則稱把a映成a*,此時稱a為a*的原像。對於把a映成a*的對映,如果z1與z2相異必導致(z1)與(z2)也相異,則稱是一對一的。在一對一的對映下,對a*上的任一w,a上必有一個z與之對應,稱此對映為的反函式,記為

z=ƒ-1(w)

設(z)是a上的複變函式,α是a中一點。如果對任一正數ε,都有正數δ,當z∈a且|z-α|<δ時,|(z)-(α)|<ε恆成立,則稱(z)在α處是連續的,如果在a上處處連續,則稱為a上的連續函式或連續對映。設是緊集a上的連續函式,則對任一正數ε,必存在不依賴自變數z的正數δ,當z1,z2∈a且|z1-z2<δ時|(z1)-(z2)|<ε恆成立。

這個性質稱為(z)在a上的一致連續性或均勻連續性。

設(z)是平面開集d內的複變函式。對於z∈d,如果極限存在且有限,則稱(z)在z處是可導的,此極限值稱為(z)在z處的導數,記為'(z)。這是實變函式導數概念的推廣,但複變函式導數的存在卻蘊含著豐富的內容。

這是因為z+h是z的二維鄰域內的任意一點,極限的存在條件比起一維的實數情形要強得多。一個複變函式如在z的某一鄰域內處處有導數,則該函式必在z處有高階導數,而且可以展成一個收斂的冪級數(見解析函式)。所以複變函式導數的存在,對函式本身的結構有重大影響,而這些結果的研究,構成了一門學科──複變函式論。

希望我能幫助你解疑釋惑。

複變函式問題,複變函式問題 100

小影子快 這個題實際上是要說明對於複變函式而言,冪函式可能是多值的。所謂的多值,就是指對於一個自變數z,z 會有多個取值。在實變函式裡面,這種情況出現得比較少,只有反三角函式會出現多值,而且對這類多值函式取它們的 主值 這時候多值函式就變成單值函式了。但是在複變函式裡面,為了考慮方程所有的根,這時候...

復變函式的定義,復變函式的定義是什麼

刀晴畫 復變數復值函式的簡稱。設a是乙個複數集,如果對a中的任一複數z,通過乙個確定的規則有乙個或若干個複數w與之對應,就說在複數集a上定義了乙個復變函式,記為w z 這個記號表示,z 是z通過規則 而確定的複數。如果記z x iy,w u iv,那麼復變函式w z 可分解為w u x,y iv x...

復變函式,關於cos z 的值域

你好,在這裡面有兩個問題你要弄明白。一.複數是無法比較大小的。所以根本不存在大於0這一說!對於這一點你可以這樣理解,以前實數裡面存在所謂的 大小 是因為數軸只有兩個方向,規定 右為大,左為小 而複數域是乙個復平面,有無數個方向,那你說哪個方向大,哪個方向小呢?因此,複數裡面只有模能比較大小 複數的模...