問問題。複變函式,留數的問題。為什麼這個題目中sinx可以變換為e的ix次方。啊啊

時間 2021-06-26 20:07:27

1樓:暮然花依在

沒有換成它

因為要有e的iz次方才能用那個公式 又因為由尤拉定理得e的iz次方後它的虛部為sinz

正好就是我們要求的 所以先用e的iz次方求出來 再求它的虛部 就得到答案

2樓:

尤拉公式 sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)

積分下限變了,原式是0→+∞,解是-∞→+∞

∫(0,+∞)xsinx/(x^2+a^2)dx

=∫(0,+∞)xsinx/(x^2+a^2)dx=∫(0,+∞)x*[e^ix-e^-ix]/[2i*(x^2+a^2)]dx

=∫(0,+∞)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx+∫(0,+∞)(-x)*e^-ix/[2i*(x^2+a^2)]dx.......偶函式令x=-x

=∫(0,+∞)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx+∫(-∞,0)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx

=∫(-∞,+∞)x*e^ix/[2i*(x^2+a^2)]dx

=1/2i*∫(-∞,+∞)x*e^ix/(x^2+a^2)dx

原式求得∫(-∞,+∞)x*e^ix/(x^2+a^2)dx=πie^-a

所以∫(0,+∞)xsinx/(x^2+a^2)dx=1/2i*πie^-a=1/2*πe^-a

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3樓:

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