1樓：
定義20.1 設a 是數域f 上n 階矩陣，如果存在可逆陣 p ，使p －1ap 為對角陣，那麼 a 稱為可對角化矩陣。
並不是所有的 n 階矩陣都可對角化，例如， a= 就一定不可對角化，所以我們要首先討論可對角化的條件。
設a ∈ m (f) 是可對角化矩陣，即存在可逆陣 p ，使
p-1ap= , λ1 , λ2 , ... , λn f 。
又設 是p 的n 個列向量，由於 p 是可逆的，向量組 線性無關，並且
ap = a ( ) =( )
即 a pi = λi p i , i=1,2, ...,n （20-1 ）
反之，如果存在 fn 中n 個線性無關的向量 及n 個數λ1 , λ2 , ... , λn ，滿足式（20--1 ）, 那麼取p =( ) m (f), 就有
p-1ap = ，既a 可以對角化。
定理 20. 1 數域f 上n 階矩陣a 可對角化的充分必要條件為存在 n 個數λ1 , λ2 , ... , λn f 及n 個線性無關的向量 使
i=1,2, ...,n. 。
2樓：匿名使用者
一、矩陣a為n階方陣
二、充要條件是有n個線性無關的特徵向量
三、充分條件n個特徵值互不相等
也就是由特徵值求出n個特徵向量,組成變換矩陣p,p=（a1,a2,.an）,那麼：p逆ap=主對角線為特徵值的對角陣。
3樓：左丘南晴建忍
易知a的特徵值只能是1或-1,並有(a+e)(a-e)=0,則r(a+e)+r(e-a)≤n,同時又有r(a+e)+r(e-a)≥r(a+e+e-a)=r(2e)=n
故r(a+e)+r(e-a)=n,
那麼a對於特徵值-1的線性無關特徵向量的個數為n-r(a+e);
a對於特徵值1的線性無關特徵向量的個數為n-r(a-e);
a的所有線性無關特徵向量的個數是n-r(a+e)+n-r(a-e)=n個
所以a一定可對角化
矩陣可對角化的重要條件是什麼？
4樓：暮不語
n階方陣可進行對角化的重要條件是：
1、n階方陣存在n個線性無關的特徵向量
推論：如果這個n階方陣有n個不同的特徵值,那麼矩陣必然存在相似矩陣2、如果階n方陣存在重複的特徵值,則每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數等於該特徵值的重
復次數。
擴充套件資料特徵值是線性代數中的乙個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的應用。設 a 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 ax=mx 成立，則稱 m 是a的乙個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。
非零n維列向量x稱為矩陣a的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱a的特徵向量或a的本徵向量。
設a為n階矩陣，若存在常數λ及n維非零向量x，使得ax=λx，則稱λ是矩陣a的特徵值，x是a屬於特徵值λ的特徵向量。
如何理解「n階矩陣a能對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量」？
5樓：汴梁布衣
如果a有n個線性無關的特徵向量，設t=【a1,a2,...,an】（a1,a2,...,an線性無關，t可逆）
則at=【入1a1,入2a2,...,入nan】=tb（b為對角矩陣）
t^(-1)at=b
關於矩陣可相似對角化條件的判定的疑問
6樓：假面
n階方陣可進行對角化的充分必要條件是：
1.n階方陣存在n個線性無關的特徵向量
推論：如果這個n階方陣有n個不同的特徵值,那麼矩陣必然存在相似矩陣
2.如果階n方陣存在重複的特徵值,每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重 復次數
現在從矩陣對角化的過程中,來說說這個條件是怎麼來的.
在矩陣的特徵問題中,特徵向量有乙個很好的性質,即aa=λa.
假設一種特殊的情形,a有n個不同的特徵值λi,即aai=λi*ai.令矩陣p=[a1 a2 ... an]
這樣以來ap=a*[a1 a2 ... an]=[a*a1 a*a2 ... a*an]=[λ1*a1 λ2*a2 ... λn*an]=p*b,其中b是對角陣.
b＝λ1 0 0 ...
0 λ2 0 ...
0 0 0 λn
由於不同特徵值對應的特徵向量是線性無關的,那麼p是可逆矩陣,將上面等式換一種描述就是a＝p*b*p-1 ,這也就是a相似與對角陣b定義了.
在這個過程中,a要能對角化有兩點很重要：
p是怎麼構成的?p由n個線性無關的向量組成,並且向量來自a的特徵向量空間.
p要滿足可逆.什麼情況下p可逆?
矩陣可對角化的條件,其實就是在問什麼情況下p可逆?
如果a由n個不同的特徵值,1個特徵值－對應1個特徵向量,那麼就很容易找到n個線性無關的特徵向量,讓他們組成p；
但是如果a有某個λ是個重根呢?比如λ＝3,是個3重根.我們 知道對應的特徵方程(3i－a)x＝0不一定有3個線性無關的解.
如果λ＝3找不到3個線性無關的解,那麼a就不能對角化了,這是因為能讓a對角化的p矩陣不存在.
擴充套件資料：
設m為元素取自交換體k中的n階方陣，將m對角化，就是確定乙個對角矩陣d及乙個可逆方陣p，使m=pdp-1。設f為典範對應於m的kn的自同態，將m對角化，就是確定kn的乙個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。
對角矩陣(diagonal matrix)是乙個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是乙個幾個世紀以來的課題，是乙個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的演算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。
無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的乙個簡單例子是代表乙個函式的泰勒級數的導數運算元的矩陣。
主條目：特徵值，特徵向量
旋轉矩陣（rotation matrix）是在乘以乙個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它可以把右手座標系改變成左手座標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。
旋轉矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數學家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎的機會。
首先您要先選一些號碼，然後，運用某一種旋轉矩陣，將你挑選的數字填入相應位置。如果您選擇的數字中有一些與開獎號碼一樣，您將一定會中一定獎級的獎。當然運用這種旋轉矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠遠小於複式投注的成本。
旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。
它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。
7樓：木土佳日月
n階矩陣有n個特徵值，每個特徵值有無數個特徵向量，但是線性無關的特徵向量個數不超過對應特徵值的重根次數；
8樓：小小大機智
k重特徵值對應的特徵向量無關數目不可能大於k
9樓：
定理：n階矩陣a相似對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
推論：若n階矩陣a有n個不同的特徵值，則矩陣a可相似對角化。說的是有n個不同的特徵值就一定能相似對角化，而沒有n個不同的特徵值只是有可能相似對角化，不能確定。
當矩陣a有兩個或兩個以上相同的特徵值時，就要看無關特徵向量的個數，若有n個不同的特徵向量就能相似對角化。
10樓：安爾默寥
兩種都可以。第一種是一定能對角化，第二種要滿足幾何重數和代數重數相等的條件就可對角化。
11樓：
講的很好，不錯，一點都不亂，
12樓：蹲家比企鵝
錯在你把重根當成乙個特徵值了
矩陣可對角化的條件(3個)
13樓：假面
1、階矩陣
bai可對角化的充分必要條件du是有個線性無zhi關的特徵向量。若 階矩陣定dao理2 矩陣 的屬於不
專同特徵值的特徵向量是線性無關的。
2、若階屬矩陣有個互不相同的特徵值，則可對角化。
3、階矩陣可對角化的充分必要條件是：每個特徵值對應的特徵向量線性無關的最大個數等於該特徵值的重數(即的每個特徵值對應的齊次線性方程組的基礎解系所含向量個數等於該特徵值的重數,也即的每個特徵子空間的維數等於該特徵值的重數）。
14樓：匿名使用者
一、矩陣a為n階方陣
二、充要條件是有n個線性無關的特徵向回量
三、充分條件n個特徵值互不相等答
也就是由特徵值求出n個特徵向量，組成變換矩陣p，p=（a1,a2,....an）,那麼：p逆ap=主對角線為特徵值的對角陣
如何判斷乙個矩陣是否可對角化？
15樓：是你找到了我
n階矩陣a相似抄
於對角矩陣的bai充要條件是a有n個線性
du無關的特徵向量。zhi
若n階矩陣a有n個不同的特徵值，則
daoa必能相似於對角矩陣。當a的特徵方程有重根時，就不一定有n個線性無關的特徵向量，從而未必能對角化。
設m為元素取自交換體k中的n階方陣，將m對角化，就是確定乙個對角矩陣d及乙個可逆方陣p，使m=pdp-1。設f為典範對應於m的kn的自同態，將m對角化，就是確定kn的乙個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。
16樓：我是誰
將矩陣a的特徵多項式完全分解，求出a的特徵值及其重數，若k重特徵內值都有k個線性無關的特徵向量，容
則a可對角化；否則不能角化。
對角化的前提是a存在n個線性無關的特徵向量，n階單位矩陣的所有特徵值都是1，但是它仍然有n個線性無關的特徵向量，因此單位矩陣可以對角化。
實對稱矩陣總可對角化，且可正交對角化。
對於乙個矩陣來說，不一定存在將其對角化的矩陣，但是任意乙個n×n矩陣如果存在n個線性不相關的特徵向量，則該矩陣可被對角化。
17樓：小小公尺
如果copy所有特徵根都不相等，絕對可以對bai角化，有等du根，只需要等根（也zhi就是重特徵值）對應的那幾個dao特徵向量是線性無關的，那麼也可以對角化，如果不是,那麼就不能了。
矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。
設a,b是n階矩陣，e是n階單位矩陣，且ab a b證明a
ab b a a e b a e e a e a e b e a e e b e 所以a e是可逆矩陣 a e e b e b a e ea ab e b a e ba b ab ba 證明 設c a e則a c e將其帶入原等式得 c e b c e b整理得 c e b e故c a e可逆且其逆...
二階矩陣的n次方怎麼求，求矩陣的n次方
由於矩陣乘法具有結合律,因此a 4 a a a a a a a a a 2 a 2.我們可以得到這樣的結論 當n為偶數時，a n a n 2 a n 2 當n為奇數時，a n a n 2 a n 2 a 其中n 2取整 你好！常用的做法是，計算二次方三次方四次方等等，找出規律。也可以利用相似於對角陣...
設a為m n矩陣,b為n階矩陣,且r a n,證明
知識點 齊次線性方程組ax 0只有零解的充分必要條件是 r a n 1 記b b1,b2,bn 由ab 0 知b1,b2,bn是ax 0的解 因為 r a n 所以 ax 0 只有零解所以 b1 b2 bn 0 故 b 0.2 由ab a,則 a b e 0由 1 知 b e 0 所以 b e. 記...