已知實n階矩陣A具有n個兩兩不同的特徵值。fE

時間 2021-08-30 09:26:31

1樓:匿名使用者

證明: 設a1,a2,...,an是a的n個不同的特徵值.

則存在可逆矩陣p, 使 p^-1ap=diag(a1,...,an)=b(記為b)

即有 a=pbp^-1.

又 f(λ)=|λe-a|=(λ-a1)(λ-a2)...(λ-an).

所以 f(a)=(a-a1e)(a-a2e)...(a-ane)

=(pbp^-1-a1e)(pbp^-1-a2e)...(pbp^-1-ane)

=p(b-a1e)(b-a2e)...(b-ane)p^-1

=p0p^-1

=0[注意此處 b-aie 是對角矩陣, 第i行第i列位置是0, i=1,2,...,n

對角矩陣的乘積是主對角線上對應元素相乘

而b-a1e,b-a2e,...,b-ane分別在a11,a22,...,ann位置為0

故其乘積等於0矩陣]

呵呵 你也沒分可加了!

2樓:匿名使用者

[證明] 因為n階矩陣a具有n個兩兩不同的特徵值,令這些特徵值為λ1, λ2, …, λn, 則f(λi) = |λie - a| = 0, i = 1, 2, …, n.

又因為對應於不同的特徵值的特徵向量是線性無關的,所以a具有n個線性無關的特徵向量, 令這些特徵向量為p1, p2, …, pn.

於是有可逆矩陣p = (p1, p2, …, pn)使得p^ap =

[λ1 0 … 0

0 λ2 … 0

... ... ... ...

0 0 ... λn] = d,而且p^f(a)p = f(p^ap) = f(d) =[f(λ1) 0 … 00 f(λ2) … 0... ...

... ...

0 0 ... f(λn)] = o.

由此可得 f(a) = pop^ = o.

[參考文獻] 張小向, 陳建龍, 線性代數學習指導, 科學出版社, 2008.

周建華, 陳建龍, 張小向, 幾何與代數, 科學出版社, 2009.

3樓:匿名使用者

你不採納我,我也不會,此等問題,無名小輩

矩陣a的多項式和特徵多項式有什麼區別

4樓:匿名使用者

1、含義不同

λi-a稱為a的特徵矩陣;|λi-a|稱為a的特徵多項式;

|λi-a|=0稱為a的特徵矩陣,而由些求出的全部根,即為a的全部特徵值。對每一個求出特徵值λ,求出齊次方程組(λi-a)x=o的基礎解是&1,&2,&3...&s,則k1&1+k2&2+...

ks&s即是a對應於 λ的全部特徵向量(其中,k1...ks不全為零)。

2、定理不同

若a的特徵多項式沒有公因子,則特徵多項式為最小多項式。

設a是n階矩陣,是特徵矩陣的n-1階行列式因子,則a的最小多項式為——n階不變因子。

3、性質不同

矩陣a的最小多項式是唯一的。

多項式矩陣稱為與等價,若經過有限次初等變換能變為b(λ),記為a(λ)≌b(λ),亦具有自反性,對稱性,傳遞性。

5樓:

λi-a稱為a的特徵矩陣;|λi-a|稱為a的特徵多項式;|λi-a|=0稱為a的特徵矩陣,而由些求出的全部根,即為a的全部特徵值.

對每一個求出特徵值λ,求出齊次方程組(λi-a)x=o的基礎解是&1,&2,&3...&s,則k1&1+k2&2+...ks&s即是a對應於 λ的全部特徵向量(其中,k1...

ks不全為零)

相似矩陣:設a,b都是n階方陣,若存在n階可逆陣p,使得p-1ap=b,則稱a相似於b,記為a~b(相擬矩陣有相同的行列式,相同的秩,相同的特徵值)

矩陣特徵值的求矩陣特徵值的方法

6樓:匿名使用者

求矩陣特徵值的方法

如下:其中矩陣q為正交矩陣,矩陣r為上三角矩陣,至於qr分解到底是怎麼回事,矩陣q和矩陣r是怎麼得到的,你們還是看矩陣論吧,如果我把這些都介紹了,感覺這篇文章要寫崩,或者你可以先認可我是正確的,然後往下看。

由式(22)可知,a1和a2相似,相似矩陣具有相同的特徵值,說明a1和a2的特徵值相同,我們就可以通過求取a2的特徵值來間接求取a1的特徵值。

7樓:善良的杜娟

把特徵值代入特徵方程,運用初等行變換法,將矩陣化到最簡,然後可得到基礎解系。求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下:

第一步:計算的特徵多項式;

第二步:求出特徵方程的全部根,即為的全部特徵值;

第三步:對於的每一個特徵值,求出齊次線性方程組:的一個基礎解系,則可求出屬於特徵值的全部特徵向量。

求特徵向量:

設a為n階矩陣,根據關係式ax=λx,可寫出(λe-a)x=0,繼而寫出特徵多項式|λe-a|=0,可求出矩陣a有n個特徵值(包括重特徵值)。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式,求解方程(λie-a)x=0,所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。

判斷矩陣可對角化的充要條件:

矩陣可對角化有兩個充要條件:

1、矩陣有n個不同的特徵向量;

2、特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件,則需要出現二重以上的重特徵值可驗證(一重相當於沒有重根)。

若矩陣a可對角化,則其對角矩陣λ的主對角線元素全部為a的特徵值,其餘元素全部為0。(一個矩陣的對角陣不唯一,其特徵值可以換序,但都存在由對應特徵向量順序組成的可逆矩陣p使p⁻¹ap=λ)。

8樓:匿名使用者

b 的各列元素相等,r(b) = 1, 有 n -1 重零特徵值。

或書上寫的, b 的各行元素成比例,

因第 2 行是第 1 行的 4 倍,...... , 第 n 行是第 1 行的 n^2 倍,

r(b) = 1, 有 n -1 重零特徵值。

一個非零特徵值是根據特徵值以下性質得出的:

所有特徵值之和等於矩陣的跡(即對角元之和)。

9樓:血盟孑孑

ax=mx,等價於求m,使得(me-a)x=0,其中e是單位矩陣,0為零矩陣。

|me-a|=0,求得的m值即為a的特徵值。|me-a| 是一個n次多項式,它的全部根就是n階方陣a的全部特徵值,這些根有可能相重複,也有可能是複數。

如果n階矩陣a的全部特徵值為m1 m2 ... mn,則|a|=m1*m2*...*mn

同時矩陣a的跡是特徵值之和:tr(a)=m1+m2+m3+…+mn

如果n階矩陣a滿足矩陣多項式方程g(a)=0, 則矩陣a的特徵值m一定滿足條件g(m)=0;特徵值m可以通過解方程g(m)=0求得。

還可用mathematica求得。

10樓:李敏

|λ|λe-a|=|λ-1 2 -2|=(-1)^2×|-2 -4 λ+2| (把第一行和第二行互換,再把新的第一行和

|2 λ+2 -4| |λ-1 2 -2| 第三行互換)

|-2 -4 λ+2| |2 λ+2 -4|

=|-2 -4 λ+2|=(-1)×|-2 -4 λ+2|

|0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3| |0 λ-2 λ-2|

|0 λ-2 λ-2| |0 4-2λ 1/2×λ^2+1/2×λ-3|

=(-1)×|-2 -4 λ+2|=(λ+7)(λ-2)^2.

|0 λ-2 λ-2|

|0 0 1/2×(λ+7)(λ-2)|

所以,a的特徵值為-7,2,2.

11樓:最愛他們姓

這個沒有接觸過呢,不是很懂,不好意思,沒能幫到你,希望你能得到滿意的答覆,祝你生活愉快,謝謝!

四階矩陣,所有元素都是1,要怎麼算特徵值,求簡單點的方法

12樓:1葉1子

||a|=0,則它必有特徵值0,又因為r(a)=1,ax=0的解空間的維數是4-r(a)=3,從而0是a的三重特徵值

由於a的各行加起來都是4,則設x0=(1,1,1,1)^t,便有ax0=4x0,從而4也是a的特徵值.

故a的全部特徵值0,0,0,4

13樓:字染碧亥

l1=l3-l1這兒錯了,

你這是先把第

一行乘了-1,然後又把第三行加到第一行上了啊。

錯就錯在

“你這是先把第一行乘了-1”

矩陣的初等變換沒有這一性質。這樣就改變了矩陣的特徵值。

另外,就這樣的題求特徵值,不用先變換,直接代入det(a-λi)求就可以了啊。

14樓:匿名使用者

|入e-a|=

|入-1,-1 -1 -1

-1,入-1 -1 -1

-1,-1 入-1 -1

-1,-1 -1 入-1|=

|入-4,入-4 入-4 入-4

-1,入-1 -1 -1

-1, -1 入-1 -1

-1, -1 -1 入-1|=(入-4)*

|1 1 1 1

-1,入-1 -1 -1

-1, -1 入-1 -1

-1, -1 -1 入-1|=入^3*(入-4)

入1=0(三重根),入4=4

求矩陣a=(-2 1 1 0 2 0 -4 1 3)的特徵值和特徵向量

15樓:西域牛仔王

|λ求特徵值,就是要解方程 |λe - a| = 0,可得 λ1 = λ2 = 2,λ3 = -1,求特徵向量,就是解內方程組 (λe-a)x=0,其中 λ=2 或 -1,

用行初容等變換,易得:

屬於 2 的特徵向量 η1=(1,0,4)^t,η2=(0,1,-1)^t,

屬於 -1 的特徵向量 η3=(1,0,1)^t。

16樓:匿名使用者

第一步:先求特徵值。令|a-λe|=0,求λ值。

第二步:針對每個λ值,分別求解對應的向量。具體方法為求(a-λe)x=0的解。

具體過程如下:

17樓:匿名使用者

>> [d,v]=eig(a)

特徵向量構成的矩陣為:

版d =

-0.4941 -0.5580 0.

6667-0.4720 0.8161 0.

33330.7301 0.1500 0.

6667這個權是特徵值

v =-1.0000 0 00 -1.0000 00 0 8.0000

n階矩陣一定有n個特徵值嗎?為什麼

薔祀 n階矩陣一定有n個特徵值。因為特徵值是特徵多項式的根,n階方陣的特徵多項式是個n次多項式,根據代數基本定理,n次多項式有且只有n個根 重根按重數計算 這些根可能是實數,也可能是複數。更加詳細的說法為 乙個n階矩陣一定有n個特徵值 包括重根 也可能是復根。乙個n階實對稱矩陣一定有n個實特徵值 包...

設為n階對稱矩陣A的對應於特徵值的特徵向量,求矩陣 P 1 AP T對應於特徵值的特徵向量

玄色龍眼 為書寫簡便,將p轉置記作q 令 q p 1 ap t qa q 1 p 1 ap t qa q 1 q qa q 所以它的對應於特徵值為 的特徵向量為 即 p t 若t不等於1,那麼令n 1,p i,則a 可以看出 p 1 ap t無關於 的特徵向量,只有 t為特徵值 題意知p可逆 且t ...

n階矩陣一定有n個特徵值(包括重根),且每個特徵值至少有

不對。乙個n階矩陣一定有n個特徵值 包括重根 也可能是復根。乙個n階實對稱矩陣一定有n個實特徵值 包括重根 每乙個特徵值至少有乙個特徵向量 不止乙個 不同特徵值對應特徵向量線性無關。特徵值是線性代數中的乙個重要概念。在數學 物理學 化學 計算機等領域有著廣泛的應用。設 a 是n階方陣,如果存在數m和...