1樓：匿名使用者
未知數個數多於方程個數，且對解有一定限制（比如要求解為正整數等）的方程。
二元一次不定方程的一般形式為ax＋by＝c。其中 a，b，c 是整數，ab ≠ 0。此方程有整數解的充分必要條件是a、b的最大公約數整除c。
若a、b互素，即它們的最大公約數為1，(x0，y0)是所給方程的乙個解， 則此方程的解可表為｛(x=x0-bt，y=y0+at）｜t為任意整數｝。
定理比如：均值不等式 偉達定理 科西不等式
(1)對正實數a,b，有a^2+b^2≥2ab (當且僅當a=b時取「=」號)，a^2+b^2>0>-2ab
(2)對非負實數a,b，有a+b≥2√(a*b)≥0，即(a+b)/2≥√(a*b)≥0
(3)對負實數a,b，有a+b<0<2√(a*b)
(4)對實數a,b(a≥b)，有a(a-b)≥b(a-b)
(5)對非負數a,b，有a^2+b^2≥2ab≥0
（6)對非負數a,b，有a^2+b^2 ≥1/2*(a+b)^2≥ab
(7)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥1/3*(a+b+c)^2
(8)對非負數a,b,c，有a^2+b^2+c^2≥ab+bc+ac
(9)對非負數a,b，有a^2+ab+b^2≥3/4*(a+b)^2
事例 例一 證明不等式：2√x≥3-1/x (x>0)
證明：2√x+1/x=√x+√x+1/x≥3*3次√(√x)*(√x)*(1/x)=3
所以，2√x≥3-1/x
2樓：匿名使用者
3樓：匿名使用者
所謂不定方程，是指未知數的個數多於方程個數，且未知數受到某些（如要求是有理數、整數或正整數等等）的方程或方程組。不定方程也稱為丟番圖方程，是數論的重要分支學科，也是歷史上最活躍的數學領域之一。不定方程的內容十分豐富，與代數數論、幾何數論、集合數論等等都有較為密切的聯絡。
不定方程的重要性在數學競賽中也得到了充分的體現，每年世界各地的數學競賽吉，不定方程都占有一席之地；另外它也是培養學生思維能力的好材料，數學競賽中的不定方程問題，不僅要求學生對初等數論的一般理論、方法有一定的了解，而且更需要講究思想、方法與技巧，創造性的解決問題。在本節我們來看一看不定方程的基礎性的題目。
基礎知識
1．不定方程問題的常見型別：
（1）求不定方程的解；
（2）判定不定方程是否有解；
（3）判定不定方程的解的個數（有限個還是無限個）。
2．解不定方程問題常用的解法：
（1）代數恒等變形：如因式分解、配方、換元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，確定出方程中某些變數的範圍，進而求解；
（3）同餘法：對等式兩邊取特殊的模（如奇偶分析），縮小變數的範圍或性質，得出不定方程的整數解或判定其無解；
（4）構造法：構造出符合要求的特解，或構造乙個求解的遞推式，證明方程有無窮多解；
（5）無窮遞推法。
以下給出幾個關於特殊方程的求解定理：
（一）二元一次不定方程（組）
定義1.形如(不同時為零)的方程稱為二元一次不定方程。
定理1.方程有解的充要是；
定理2.若，且為的乙個解，則方程的一切解都可以表示成
為任意整數)。
定理3.元一次不定方程，()有解的充要條件是.
方法與技巧：
1．解二元一次不定方程通常先判定方程有無解。若有解，可先求乙個特解，從而寫出通解。當不定方程係數不大時，有時可以通過觀察法求得其解，即引入變數，逐漸減小係數，直到容易得其特解為止；
2．解元一次不定方程時，可先順次求出，
……，.若 ，則方程無解；若|，則方程有解，作方程組：
求出最後乙個方程的一切解，然後把的每乙個值代入倒數第二個方程，求出它的一切解，這樣下去即可得方程的一切解。
3．個元一次不定方程組成的方程組，其中，可以消去個未知數，從而消去了個不定方程，將方程組轉化為乙個元的一次不定方程。
（二）高次不定方程（組）及其解法
1．因式分解法：對方程的一邊進行因式分解，另一邊作質因式分解，然後對比兩邊，轉而求解若干個方程組；
2．同餘法：如果不定方程有整數解，則對於任意，其整數解滿足，利用這一條件，同餘可以作為**不定方程整數解的一塊試金石；
3．不等式估計法：利用不等式工具確定不定方程中某些字母的範圍，再分別求解；
4．無限遞降法：若關於正整數的命題對某些正整數成立，設是使成立的最小正整數，可以推出：存在，使得成立，適合證明不定方程無正整數解。
方法與技巧：
1．因式分解法是不定方程中最基本的方法，其理論基礎是整數的唯一分解定理，分解法作為解題的一種手段，沒有因定的程式可循，應具體的例子中才能有深刻地體會；
2．同餘法主要用於證明方程無解或匯出有解的必要條件，為進一步求解或求證作準備。同餘的關鍵是選擇適當的模，它需要經過多次嘗試；
3．不等式估計法主要針對方程有整數解，則必然有實數解，當方程的實數解為乙個有界集，則著眼於乙個有限範圍內的整數解至多有有限個，逐一檢驗，求出全部解；若方程的實數解是無界的，則著眼於整數，利用整數的各種性質產生適用的不等式；
4．無限遞降**證的核心是設法構造出方程的新解，使得它比已選擇的解「嚴格地小」，由此產生矛盾。
（三）特殊的不定方程
1．利用分解法求不定方程整數解的基本思路：
將轉化為後，若可分解為，則解的一般形式為，再取捨得其整數解；
2．定義2：形如的方程叫做勾股數方程，這裡為正整數。
對於方程，如果，則，從而只需討論的情形，此時易知兩兩互素，這種兩兩互素的正整數組叫方程的本原解。
定理3.勾股數方程滿足條件的一切解可表示為：
，其中且為一奇一偶。
推論：勾股數方程的全部正整數解（的順序不加區別）可表示為：
其中是互質的奇偶性不同的一對正整數，是乙個整數。
勾股數不定方程的整數解的問題主要依據定理來解決。
3．定義3.方程且不是平方數)是的一種特殊情況，稱為沛爾(pell)方程。
這種二元二次方程比較複雜，它們本質上歸結為雙曲線方程的研究，其中都是整數，且非平方數，而。它主要用於證明問題有無數多個整數解。對於具體的可用嘗試法求出一組成正整數解。
如果上述pell方程有正整數解，則稱使的最小的正整數解為它的最小解。
定理4.pell方程且不是平方數)必有正整數解，且若設它的最小解為，則它的全部解可以表示成：
.上面的公式也可以寫成以下幾種形式：
（1）；（2）；（3）.
定理5.pell方程且不是平方數)要麼無正整數解，要麼有無窮多組正整數解，且在後一種情況下，設它的最小解為，則它的全部解可以表示為
定理6. （費爾馬（fermat）大定理）方程為整數)無正整數解。
費爾馬（fermat）大定理的證明一直以來是數學界的難題，但是在2023年6月，美國普林斯頓大學的數學教授a.wiles完全解決了這一難題。至此，這一困擾了人們四百多年的數學難題終於露出了廬山真面目，脫去了其神秘面紗。
典例分析
例1．求不定方程的整數解。
解：先求的一組特解，為此對37，107運用輾轉相除法：
，， 將上述過程回填，得：
由此可知，是方程的一組特解，於是，是方程的一組特解，因此原方程的一 切整數解為：。
例2．求不定方程的所有正整數解。
解：用原方程中的最小係數7去除方程的各項，並移項得：
因為是整數，故也一定是整數，於是有，再用5去除比式的兩邊，得，令為整數，由此得。
經觀察得是最後乙個方程的一組解，依次回代，可求得原方程的一組特解：，所以原方程的一切整數解為：。
例3．求不定方程的正整數解。
解：顯然此方程有整數解。先確定係數最大的未知數的取值範圍，因為的最小值為1，所以。
當時，原方程變形為，即，由上式知是偶數且故方程組有5組正整數解，分別為，，，，；
當時，原方程變形為，即，故方程有3組正整數解，分別為：，，；
當時，原方程變形為，即，故方程有2組正整數解，分別為：，；
當時，原方程變形為，即，故方程只有一組正整數解，為。
故原方程有11組正整數解（如下表）：24
68102
4624
213107
4196
3521
1111
1222
334例4．求出方程的所有正整數解。
解：先求最小解。令
當時，；當時，；當時，。所以的最小解為，於是：
例5．在直角座標平面上，以（199，0）為圓心，以199為半徑的圓周上的整點的個數為多少個？
解：設為圓上任一整點，則其方程為：；
顯然為方程的4組解。
但當時，（因為199是質數），此時，是一組勾股數，故199可表示為兩個正整數的平方和，即。
因為，可設，
則這與199為型的質數矛盾！
因而圓o上只有四個整點。
例6．求所有滿足的正整數三元組。
解：兩邊取，得，所以是偶數，再得，所以也是偶數。此時令
於是，由可知：；
由唯一分解定理：，，
從而注意到17是奇數，所以要使成立，一定有。
於是。當時，在的兩邊取，得，這顯然是不成立的，所以，從而。
故方程只有唯一的一組解（2，2，2）。
例7．是乙個給定的整數，當為何值時，的方程有正整數解？在有正整數解時，求解該不定方程。
解；若有質數，，則，從而，矛盾！所以。
因此當且僅當。
因為，顯然，所以當且僅當。（*）
（1）若時，，所以或，或；
（2）類似地，若，則，所以或，或；
（3）由於條件（*），不妨設；
若，則，所以；
若，則因為，所以存在，使得：
，所以，。
因為，所以必有。
所以，故
所以，所以或
當時，；
當時，，對應的為1或2。
由條件（*）知以及也是原方程的解，對應的整數為14或9。
綜上，當時原方程有整數解，它們分別是：（3，1），（5，2）；（2，1），（5，3），（2，2）；（1，2），（3，5）；（1，3），（2，5）。
例8．求證：邊長為整數的直角三角形的面積不可能是完全平方數。
證明：假設結論不成立，在所有的面積為平方數勾股三角形中選取乙個面積最小的，設其邊長為，則是平方數，則必有。
因為，故存在整數中一奇一偶，，使得（不妨設是偶數）。
由於是完全平方數，而知兩兩互素，故它們是平方數，
即，所以即
因為是奇數，易知，於是與中有乙個是，另乙個是，而；
另一方面，得
所以，以為邊的三角形都是直角三角形，其面積等於是平方數，
但是，於是構造出了乙個面積更小的勾股三角形，矛盾！
高中數學 這樣的方程組怎麼解，高中數學。方程組怎麼解？具體步驟。
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