什麼是反比例函式,什麼叫正比例函式?什麼叫反比例函式

時間 2021-09-10 07:15:49

1樓:好鬱悶起個名字

定義:一般的,如果兩個變數x,y之間的關係可以表示成 y=k/x (k為常數,k≠0) ,其中k叫做反比例係數,x是自變數,y是自變數x的函式,x的取值範圍是不等於0的一切實數,且y也不能等於0。k>0時,影象在

一、三象限。k<0時,影象在

二、四象限。k的絕對值表示的是x與y的座標形成的矩形的面積。

函式性質:

1、 單調性

當k>0時,影象分別位於第

一、三象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而減小;

當k<0時,影象分別位於第

二、四象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而增大。

k>0時,函式在x<0上同為減函式、在x>0上同為減函式;k<0時,函式在x<0上為增函式、在x>0上同為增函式。

2、相交性

因為在 (k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函式的影象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交,只能無限接近x軸,y軸。

3、面積

在一個反比例函式影象上任取兩點,過點分別作x軸,y 軸的平行線,與座標軸圍成的矩形面積為|k| ,

反比例函式上一點 向x 、y 軸分別作垂線,分別交於y軸和x軸,則qowm的面積為k|,則連線該矩形的對角線即連線om,則rt△omq的面積=½|k|

。4、影象表達

反比例函式的影象既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸 y=±x(即第一三,二四象限角平分線),對稱中心是座標原點。

反比例函式影象不與x軸和y軸相交的漸近線為:x軸與y軸。

k值相等的反比例函式影象重合,k值不相等的反比例函式影象永不相交。

|k|越大,反比例函式的影象離座標軸的距離越遠。

5、對稱性

反比例函式影象是中心對稱圖形,對稱中心是原點;反比例函式的影象也是軸對稱圖形,其對稱軸為y=x和y=-x;反比例函式影象上的點關於座標原點對稱。

影象關於原點對稱。若設正比例函式y=mx與反比例函式 交於a、b兩點(m、n同號),那麼a b兩點關於原點對稱。

反比例函式關於正比例函式y=±x軸對稱,並且關於原點中心對稱。

2樓:

如果兩個變數的每一組對應值的乘積是一個不等於0的常數,那麼就說這兩個變數成反比例。形如y=k/x(k為常數,k≠0,x≠0)的函式就叫做反比例函式。

變形公式為xy=k或y=kx^-1或y=k1/x

什麼叫正比例函式?什麼叫反比例函式

3樓:demon陌

正比例函式的定義:

一般地,兩個變數x、y之間的關係式可以表示成形如y=kx的函式(k為常數,x的次數為1,且k≠0)(簡稱f(x)),那麼y就叫做x的正比例函式。

反比例函式的定義:

如果兩個變數的每一組對應值的乘積是一個不等於0的常數,那麼就說這兩個變數成反比例。形如y=k/x(k為常數,k≠0,x≠0)的函式就叫做反比例函式。

擴充套件資料:

正比例函式:

正比例函式屬於一次函式,但一次函式卻不一定是正比例函式。

正比例函式是一次函式的特殊形式,即一次函式y=kx+b中,若b=0,即所謂“y軸上的截距”為零,則為正比例函式。

正比例函式的關係式表示為:y=kx(k為比例係數)

當k>0時(一三象限),k越大,影象與y軸的距離越近。函式值y隨著自變數x的增大而增大。

當k<0時(二四象限),k越小,影象與y軸的距離越近。自變數x的值增大時,y的值則逐漸減小。

反比例函式:

單調性當k>0時,圖象分別位於第

一、三象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而減小;

當k<0時,圖象分別位於第

二、四象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而增大。

k>0時,函式在x<0上同為減函式、在x>0上同為減函式;k<0時,函式在x<0上為增函式、在x>0上同為增函式。相交性

4樓:匿名使用者

一般地,兩個變數x、y之間的關係式可以表示成形如y=kx的函式(k為常數,x的次數為1,且k≠0)(簡稱f(x)),那麼y就叫做x的正比例函式。

如果兩個變數的每一組對應值的乘積是一個不等於0的常數,那麼就說這兩個變數成反比例。形如y=k/x(k為常數,k≠0,x≠0)的函式就叫做反比例函式。

5樓:

一般的,形如y=kx(k是常數,k≠0)的函式,叫做正比例函式,其中k叫做比例係數.如:y=3x;y=-0.5x

一般的,形如y=kx+b(k,b是常數,k≠0)的函式,叫做一次函式.當b=0時,y=kx+b即y=kx,所以說正比例函式是一種特殊的一次函式.如:y=8x-7;y=-9x

一般的,形如y=k/x(k為常數,k≠0)的函式稱為反比例函式,其中x是自變數,y是函式,自變數x的取值範圍是不等於0的一切實數.如:y=453/x;y=-89/x

6樓:精銳數學老師

正比例:y=kx,影象為一條過原點的直線

反比例:y=k/x,影象是雙曲線

什麼是反比例函式

7樓:匿名使用者

y=k/x

當k小於0時,x越大,y越大,當k大於0時,x越小,y越大

反比例函式是相對於正比例函式來說的,正比例函式y=kx,反比例函式y=k/x

在複習“第11章 一次函式”內容的基礎上,引進本章內容。應該有意識地加強反比例函式y=k/x (k為常數,)與正比例函式y=kx(k為常數,)之間的對比,對比可以從如下幾方面進行:

1.兩種函式的解析式有何相同與不同?兩種函式的圖象的特徵有何區別?

2.在常數 相同的情況下,當自變數 變化時兩種函式的函式值 的變化趨勢有什麼區別?

3.兩種函式中 的取值範圍有何不同?常數 的符號改變對兩種函式圖象所處象限的影響如何?

回答是這樣的:

1.兩種函式的解析式的相同點是,自變數只有一個,即x,都有一個常數k,且;不同點是自變數 在解析式中的位置不同,正比例函式的解析式 的右邊是一個整式,不為0的常數k是自變數x的係數,而反比例函式的解析式的右邊是一個分式,自變數x處在分母的位置,不為0的常數k處在分子的位置。

兩種函式的圖象都分佈在兩個象限內,這是相同之處;不同點在於正比例函式的圖象是一條直線,而反比例函式的圖象是兩支曲線。正比例函式的圖象經過原點,而反比例函式的圖象不經過原點。

2.在常數相同的情況下,當自變數x增大(減小)時,正比例函式的y值增大(減小),而反比例函式的y值減小(增大);在常數相同的情況下,當自變數x增大(減小)時,正比例函式的y減小(增大),而反比例函式的 t值增大(減小)。

3.當常數 的符號改變時,兩類函式圖象所處的象限都會隨之改變。當時,兩類函式的圖象都分佈在

一、三象限;當時,兩類函式的圖象都分佈在

二、四象限。

8樓:匿名使用者

一般地,如果兩個變數x、y之間的關係可以表示成y=k/x (k為常數,k≠0)的形式,那麼稱y是x的反比例函式。 因為y=k/x是一個分式,所以自變數x的取值範圍是x≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x^(-1)。

目錄反比例函式定義

反比例函式表示式

自變數的取值範圍

反比例函式圖象

k的意義及應用

反比例函式性質單調性

相交性面積

影象對稱性

與正比例函式交點

反比例函式的應用舉例

畫法典型題目反比例函式定義

反比例函式表示式

自變數的取值範圍

反比例函式圖象

k的意義及應用

反比例函式性質 單調性

相交性面積 影象

對稱性與正比例函式交點

反比例函式的應用舉例

畫法典型題目 編輯本段反比例函式定義

函式y=k/x(k為常數且k≠0)叫做反比例函式,其中k叫做比例係數,x是自變數,y是自變數x的函式,x的取值範圍是不等於0的一切實數。

編輯本段反比例函式表示式

x是自變數,y是x的函式   y=k/x=k·1/x   xy=k   y=k·x^(-1) (即:y等於x的負一次方,此處x必須為一次方)   y=k\x(k為常數且k≠0,x≠0)   若y=k/nx此時比例係數為:k/n

編輯本段自變數的取值範圍

① k ≠ 0; ②在一般的情況下 , 自變數 x 的取值範圍可以是 不等於0的任意實數;③函式 y 的取值範圍也是任意非零實數。   解析式 y=k/x 其中x是自變數,y是x的函式,其定義域是不等於0的一切實數   y=k/x=k·1/x   xy=k   y=k·x^(-1)   y=k\x(k為常數(k≠0),x不等於0)

編輯本段反比例函式圖象

反比例函式的影象屬於以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線(hyperbola),

反比例函式影象中每一象限的每一支曲線會無限接近x軸y軸但不會與座標軸相交(k≠0)。

編輯本段k的意義及應用

過反比例函式y=k/x(k≠0),影象上一點p(x,y),作兩座標軸的垂線,兩垂足、原點、p點組成一個矩形,矩形的面積 s=x的絕對值*y的絕對值=(x*y)的絕對值=|k|   研究函式問題要透視函式的本質特徵。反比例函式中,比例係數k有一個很重要的幾何意義,那就是:過反比例函式圖象上任一點p作x軸、y軸的垂線pm、pn,垂足為m、n則矩形pmon的面積s=pm·pn=|y|·|x|=|xy|=|k|。

  所以,對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線,它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。從而有k的絕對值。在解有關反比例函式的問題時,若能靈活運用反比例函式中k的幾何意義,會給解題帶來很多方便。

編輯本段反比例函式性質

單調性當k>0時,圖象分別位於第

一、三象限,同一個象限內,y隨x的增大而減小;當k<0時,圖象分別位於

二、四象限,同一個象限內,y隨x的增大而增大。   k>0時,函式在x<0上同為減函式、在x>0上同為減函式;k<0時,函式在x<0上為增函式、在x>0上同為增函式。

相交性因為在y=k/x(k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函式的圖象不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交,只能無限接近x軸,y軸。

面積在一個反比例函式圖象上任取兩點p,q,過點p,q分別作x軸,y軸的平行線,與座標軸圍成的矩形面積為s1,s2則s1=s2=|k|   反比例上一點m向x、y分別做垂線,交於q、w,則矩形mwqo(o為原點)的面積為|k|

影象反比例函式的圖象既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸y=x y=-x(即第一三,二四象限角平分線),對稱中心是座標原點。   反比例函式影象不與x軸和y軸相交。y=k/x的漸近線:

x軸與y軸。   k值相等的反比例函式重合,k值不相等的反比例函式永不相交。   k|越大,反比例函式的圖象離座標軸的距離越遠。

對稱性反比例函式圖象是中心對稱圖形,對稱中心是原點;反比例函式的影象也是軸對稱圖形,它的對稱軸是x軸和y軸夾角的角平分線。   影象關於原點對稱。若設正比例函式y=mx與反比例函式y=n/x交於a、b兩點(m、n同號),那麼a b兩點關於原點對稱。

  反比例函式關於正比例函式y=x,y=-x軸對稱,並且關於原點中心對稱。

與正比例函式交點

設在平面內有反比例函式y=k/x和一次函式y=mx+n,要使它們有公共交點,則n^2+4k·m≥(不小於)0。

編輯本段反比例函式的應用舉例

【例1】反比例函式 的圖象上有一點p(m, n)其座標是關於t的一元二次方程t^2+3t+k=0的兩根,且p到原點的距離為根號13,求該反比例函式的解析式.   分析:   要求反比例函式解析式,就是要求出k,為此我們就需要列出一個關於k的方程.   解:∵ m, n是關於t的方程t^2+3t+k=0的兩根   ∴ m+n=-3,mn=k,   又 po=根號13, 反比例函式圖象

∴m^2+n^2=13,   ∴(m+n^2-2mn=13,   ∴ 9-2k=13.   ∴ k=-2   當 k=-2時,△=9+2>0,   ∴ k=-2符合條件,   【例2】直線與位於第二象限的雙曲線 相交於a、a1兩點,過其中一點a向x、y軸作垂線,垂足分別為b、c,矩形aboc的面積為6,求:   (1)求雙曲線的解析式   分析:矩形aboc的邊ab和ac分別是a點到x軸和y軸的垂線段,   設a點座標為(m,n),則ab=|n|, ac=|m|,   根據矩形的面積公式知|m·n|=6.

編輯本段畫法

1)列表   如   x ... -3 -2 -1 1 2 3 4 ...

y ... -4 -6 -12 12 6 4 3 ...

2)在平面直角座標系中標出點   3)用平滑的曲線描出點 常見畫法

1.當雙曲線在一三象限,k>0,在每個象限內,y隨x的增大而減小。與x及y軸無交點。

  2.當雙曲線在二四象限,k<0,在每個象限內,y隨x的增大而增大。與x及y軸無交點。

  當兩個數相等時那麼呈彎月型。

編輯本段典型題目

1、已知一次函式y=-x+6和反比例函式y=k/x(k≠0)   (1)k滿足什麼條件時,這兩個函式在同一座標系中的影象有兩個交點?   (2)當影象有兩個交點時(設為a和b),判斷∠aob是銳角、鈍角還是直角?說明理由。

  解(1)一次函式y=-x+6和反比例函式y=k/x(k不等於零)有兩個交點,即   -x+6=k/x 化簡的x^2-6x+k=0 有兩個交點 則方程有兩個不同的解   即6^2-4k>0 所以k<9且k不等於0   (2)當0

  解(1)正比例函式則x次數是1   m^2-m-1=1   (m-2)(m+1)=0   m=2,m=-1   係數不等於0   m-1≠0   所以m=2,m=-1   (2)反比例函式則x次數是-1   m^2-m-1=-1   m(m-1)=0   m=0,m=1   係數不等於0   m-1≠0   所以m=0   3、一矩形的面積為24cm^2,則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關係是什麼?請寫出函式表示式,若要求矩形的各邊長均為整數,請畫出所有可能的的矩形。   解 面積x*y=24   函式表示式y=24/x(0

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