1樓：瑞春楓
定積分表示的和式極限：原式=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n設f(x)=x^p
在區間[0,1]做等長分割t,得到n個小區間：
[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]
在每個區間中取ξi=i/n。
黎曼積分
定積分的正式名稱是黎曼積分。用黎曼自己的話來說，就是把直角座標系上的函式的圖象用平行於y軸的直線把其分割成無數個矩形，然後把某個區間[a,b]上的矩形累加起來，所得到的就是這個函式的圖象在區間[a,b]的面積。
我們可以看到，定積分的本質是把圖象無限細分，再累加起來，而積分的本質是求一個導函式的原函式。
2樓：匿名使用者
因為對分划來說，只是令分點個數n趨於無窮，並不能保證每個小子區間的長度是趨於0的（這是定積分的定義要求的），比如你把【a b】先用中點分為兩端，以後做分劃時只對右半區間做分劃而左半區間不動，這時分點個數n趨於無窮，但顯然不滿足定積分定義要求。
將和式的極限表示為定積分
3樓：這是沙茶君
原式=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n設f(x)=x^p
在區間[0,1]做等長分割t,得到n個小區間:
[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]
在每個區間中取ξi=i/n
得到黎曼和
∑[i=1→n]f(ξi)δxi
=∑[i=1→n](i/n)^p*1/n
所以原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n=lim[n→∞]∑[i=1→n]f(ξi)δxi=∫[0→1]x^pdx
4樓：逆流而上的鳥
原式=lim(n→∞)[(1^p+2^p+...+n^p)/n^p]*(1/n)
=lim(n→∞)[1^p/n^p+2^p/n^p+...+n^p/n^p]*(1/n)
=lim(n→∞)[(1/n)^p+(2/n)^p+..+(n/n)^p]*(1/n)
=(1/n)*∑(i=1,n)(i/n)^p=∫(0,1)x^pdx
=1/(p+1)x^(p+1) |(0,1)=1/(p+1)
關於定積分中的積分和式極限
5樓：匿名使用者
定積分是微積分的重要概念。德國數學家黎曼首先給予嚴格表述，故又稱“黎曼積分”。
定積分的本質是和式的極限。將函式定義域上區間 [a,b] 分成多個小區間，將函式在每個小區間上任一點的函式值 f(ξi) 與小區間寬度 δxi 的乘積求和，在小區間寬度趨於零時，如果該和式的極限存在，則稱此極限值為函式在此區間的定積分。在幾何意義方面表現為介於 x 軸、函式圖形及直線x=a、x=b 之間各部分曲邊梯形面積的代數和。
從定積分的定義可以看出，它是建立在極限概念基礎上的。有限區間 [a,b] 被細分成 n 個區間，區間寬度 δx 趨於 0 時，區間數量 n 趨於 ∞，和式極限趨於一個定值。無窮細分（δx→0）似乎不可能，無窮多個值求和 (i=1→∞)∑f(ξi)δxi 似乎不可能，但是藉助極限概念變成可能，體現了由分到合、由無限到有限轉化的思想。
definite integral 譯為“定積分”一詞，正是體現了這種思想。先細分，後求積並累加，最後得到定值。用字如此精煉的第一個譯者，必是領會其思想之精髓。
怎麼把和式極限表示為定積分？
6樓：東方欲曉
這是根據riemann sums 和 definite integrals 滿足一定條件下的互換得來的。
attn: x(i) = i/n, dx = x(i+1) - x(i) = 1/n是常用的，但並不是唯一一種形式.
舉例：用求和做定積分∫[0,3] √x dx
如果設 x = i/n就完成不了求和，至少目前我們自己做不了。
但我們可以設 x(i) = 3 i^2/n^2, 這樣一來，i = 0, x =0; i = n, x = 3;
√x = √3 i/n, dx = x(i+1) - x(i) = 3(2i-1)/n^2
∫[0,3] √x dx = sum [√3 i/n][3(2i-1)/n^2] , n->oo
= sum 6√3 i^2/n^3 , n->oo (抓大舍小）
= 2√3
attn: sum i^2 = (1/6)(n)(n+1)(2n+1)
7樓：肇事者
這種題的套路如上，關鍵是第一步你要能寫成那個樣子
和式的極限表示為定積分
8樓：這是沙茶君
原式=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n設f(x)=x^p
在區間[0,1]做等長分割t,得到n個小區間:
[0,1/n],[1/n,2/n]…[(i-1)/n,i/n]…[(n-1)/n,1]
在每個區間中取ξi=i/n
得到黎曼和
∑[i=1→n]f(ξi)δxi
=∑[i=1→n](i/n)^p*1/n
所以原式
=lim[n→∞]∑[i=1→n](i/n)^p*1/n=lim[n→∞]∑[i=1→n]f(ξi)δxi=∫[0→1]x^pdx
9樓：宣小翠習韋
因為對分划來說，只是令分點個數n趨於無窮，並不能保證每個小子區間的長度是趨於0的（這是定積分的定義要求的），比如你把【a
b】先用中點分為兩端，以後做分劃時只對右半區間做分劃而左半區間不動，這時分點個數n趨於無窮，但顯然不滿足定積分定義要求。
定積分表示和式極限此題怎麼破
利用定積分求和式極限的問題 50
10樓：鐵打的泥人
你沒理解和的極限和積分的關係轉化
積分是把區間化為無限個小長度，然後函式值在該點數值與單位小區間長度相乘，極限求和，近似函式在該區間與x軸圍成的面積。
問題1：函式區間從pi/n到npi/n，n趨於無窮，那麼變數x從0到pi
問題2：0到pi劃分為n個長度區間，每個區間長度為pi/n。為了把上式變換為符合積分要求形式，需要乘以pi，則變換過後有個1/pi
請教各位學霸，在高等數學定積分中和式極限是什麼意思？多謝
11樓：竹間走召
是定積分的定義中，積分和的極限lim∑嗎？
這個一般數學專業微積分中有詳細論述，仍舊是ε－δ語言，稍微比通常數列極限，函式極限，數列和式極限複雜一點。
用定積分求和式極限的一個問題
12樓：傅邃出好
無法理解樓主思路，特別是你第二個問題。
我嘗試解釋一下看樓主能否理解。
把那條極限求和的式子看成無數個矩形求和
每個矩形的長都是
π/(2n)
高則是2cos
[iπ/(2n)
-π/(4n)]
當n趨於正無窮的時候，這些矩形面積之和也將趨近於cosx
在[0,π/2]之下的面積。
和樓主給的定積分定義不太相同的是，
這裡第i
個矩形的高取的值是
2cosx
在第i個區間[(i-1)π/(2n),
iπ/(2n)]
的中點的值，
即2cos
[iπ/(2n)
-π/(4n)]
使用定積分定義的時候，小區間的長度也就是矩形的長究竟是π/(2n)還是
π/n都沒有問題，關鍵是矩形的高要對應得上。
這道題中函式自變數x
=iπ/(2n)
-π/(4n)
，i每增加1，x增加
π/(2n)。所以很自然地把矩形的長取為π/(2n)。
若非要像樓主所想的把區間長度取為π/n
，則第i個矩形的高取的值，是cos(x/2)在第i個區間[(i-1)π/n,
iπ/n]
的中點的值
即cos
[iπ/(2n)
-π/(4n)]。
不過這樣的話積分的區間就變成[0,π]了。
不管怎麼理解那條求和的式子
結果都是一樣的。
將和式的極限表示為定積分
這是沙茶君 原式 lim n i 1 n i n p 1 n設f x x p 在區間 0,1 做等長分割t,得到n個小區間 0,1 n 1 n,2 n i 1 n,i n n 1 n,1 在每個區間中取 i i n 得到黎曼和 i 1 n f i xi i 1 n i n p 1 n 所以原式 li...
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