1樓：匿名使用者
a可逆<=> |a|≠0
<=> 齊次線性方程組 ax=0 只有零解即 x1a1+x2a2+...+xnan = 0 只有零解<=> a的列向量組 a1,a2,...,an 線性無關.
a可逆 <=> |a|≠0 <=> r(a)=n <=> a的列秩 = n <=> a的列向量線性無關.
證明方法有很多, 不一定與你的教材所講解的知識點的順序一致, 僅供參考
2樓：數學好玩啊
考慮列向量的線性方程組
∑xiai=0，i=1,2,……,n
用矩陣表示為ax=0
因為a可逆，所以ax=0只有零解，所以xi=0，故a1,a2,……,an線性無關
3樓：
證明：反證法，設a為可逆陣，a1，a2，...，an為其列向量。
若列向量線性相關，則不妨設a1可由其餘列線性表出，即a1=k2a2+k3a3+...+knan，
即a1-k2a2-k3a3-...-knan=0。
令b為矩陣：
1 -k1 -k2 ... -kn11
...1
則|b|=1，且|a*b|=|[0 a2 a3 ... an]|=0=|a|*1=|a|
即a的行列式為0，a不可逆，與a可逆矛盾，假設不成立。
故可逆矩陣的列向量線性無關。
為什麼矩陣可逆，它的行向量組就線性無關，列向量組也線性無關？
4樓：daywill不二
矩陣p可逆說明p是滿秩，也就是說p的行列式不等於0。列向量中沒有哪乙個可以由其他向量線性表示，即列向量線性無關。
p可逆，列（行）向量線性無關，p行列式不等於0，p滿秩，p的特徵值都不為0，這幾個是等價命題。
矩陣可逆，則秩＝行向量個數＝列向量個數。矩陣的行向量組的秩等於行向量的個數，所以行向量組線性無關。同理，列向量組線性無關。
例：擴充套件資料：
線性無關相關注意：
1、對於任一向量組而言,，不是線性無關的就是線性相關的。
2、向量組只包含乙個向量a時，a為0向量，則說a線性相關; 若a≠0, 則說a線性無關。
3、包含零向量的任何向量組是線性相關的。
4、含有相同向量的向量組必線性相關。
5、增加向量的個數，不改變向量的相關性。(注意，原本的向量組是線性相關的)
6、減少向量的個數，不改變向量的無關性。(注意，原本的向量組是線性無關的）
7、乙個向量組線性無關，則在相同位置處都增加乙個分量後得到的新向量組仍線性無關。
8、乙個向量組線性相關，則在相同位置處都去掉乙個分量後得到的新向量組仍線性相關。
9、若向量組所包含向量個數等於分量個數時，判定向量組是否線性相關即是判定這些向量為列組成的行列式是否為零。若行列式為零，則向量組線性相關；否則是線性無關的。
5樓：匿名使用者
因為如果a可逆，則ax=0有唯一解0，xa=0也有唯一解0，而這恰好是列向量組和行向量組線性無關的定義
6樓：
矩陣可逆，則秩＝行向量個數＝列向量個數。
矩陣的行向量組的秩等於行向量的個數，所以行向量組線性無關。同理，列向量組線性無關。
證明線性無關的方法 如圖，為什麼乙個線性無關組乘以乙個可逆矩陣，得到的矩陣裡的向量組也線性無關？ 20
7樓：匿名使用者
右乘可逆矩陣等同於對原矩陣進行初等列變換，初等變換不改變線性無關性。
在一組資料中有乙個或者多個量可以被其餘量表示。線性無關，就是在一組資料中沒有乙個量可以被其餘量表示。從維數空間上講，例如，乙個三維空間，那麼必須用三個線性無關的向量來表示，如果在加上另外乙個向量，那麼這個向量必然可以由上述三個向量唯一的線性表出。
在三維空間裡，互相垂直的三個座標軸就是一組最簡單的現行無關的向量。並且是三維空間上的極大無關組。其實，只要是不在同一平面的三個互不平行的向量都可以組成三維空間上的極大無關組。
那也就是線性無關的。在乙個線性空間中，只要我們選定一組基，那麼對於任何乙個線性變換，都能夠用乙個確定的矩陣來加以描述。」
理解這句話的關鍵，在於把「線性變換」與「線性變換的乙個描述」區別開。乙個是那個物件，乙個是對那個物件的表述。就好像我們熟悉的物件導向程式設計中，乙個物件可以有多個引用，每個引用可以叫不同的名字，但都是指的同乙個物件。
如果還不形象，那就乾脆來個很俗的模擬。
矩陣a式n階可逆矩陣的等價條件:
1、a的行列式不等於0
2、a的秩等於n，即a為滿秩矩陣
3、a的行（列）向量組線性無關
4、 齊次方程組ax=0只有零解
5、 對於任意b屬於rn(n為上標，表示向量空間)，ax=b總有唯一解
6、 a與單位矩陣等價
7、a可表示成若干個初等矩陣的乘積
8、 a的列向量可以作為n維向量空間rn(n為上標)的一組基
9、 rn中任意乙個向量都可以由a的列向量線性表出
10、a的特徵值全不為0
11、 at·a是正定矩陣(其中t為上標，表示a的轉置)
12、 a是非奇異的
8樓：raptor韓韓
a1,a2,a3...as線性無關，則r(a1,a2,a3...as)=s，如果a可逆r(a(a1,a2,a3...
as))=r((a1,a2,a3...as)a)=r(a1,a2,a3...as)=s，即aa1,aa2,aa3...
aas和a1a,a2a,a3a...asa都線性無關
線性代數 矩陣a=bc b的列向量組線性無關,c不可逆,那麼a的列向量組一定線性無關嗎？
9樓：數學好玩啊
c可逆吧
由於c可逆，所以a=bc可推出b=ac-1，所以a和b的列向量能互相線性表示，即a和b的列秩相等，所以a的列向量線性無關。
線性相關和線性無關（證明題），線性代數。一道題。證明線性無關！ 要具體過程。
不用，它是一個引入量，其實只起到輔助的作用，最後對結果都沒有影像的。你不明白的那個，你看下設的方程a1 a11b1 a21b2,a2 a12b1 a22b2,a3 a13b1 a23b2 在把他帶入原來的方程x1a1 x2a2 x3a3x1a1 x2a2 x3a3 x1 a11b1 a21b2 x2...
線性代數矩陣習題，線性代數矩陣題？
樓主首先要明白 a o 則r a r a n 1，則r a 1 r a r a n,r a n 當然，為什麼出現這種情況，這個還是很容易理解的,將矩陣劃分為n個行向量，即r a n 1，有且只有乙個向量可以被其他向量線性表示 第二小題，做法可以另類a a a e，直接求模，就可以得出結論了。1.a ...
線性代數題
1.解 因為三階矩陣a的特徵值為2,1,1 所以 a 2 1 1 2.因為 a a a 1 2a 1 所以 b 2a a a e 4e a e 3e a.取g x 3 x 則 b 的特徵值為 g 2 5,g 1 4,g 1 2 所以 b 5 4 2 40.2.解 因為 a 2e 0,所以a有特徵值 ...