1樓：回不去的老夏
用因式分解法解一元二次方程
【學習目標】
1．會用因式分解法解某些一元二次方程．
2．能夠根據方程的特徵，靈活運用一元二次方程的各種解法求方程的根．
【主體知識歸納】
1．因式分解法 若一元二次方程的一邊是0，而另一邊易於分解成兩個一次因式時，例如，x2－9＝0，這個方程可變形為(x＋3)(x－3)＝0，要(x＋3)(x－3)等於0，必須並且只需(x＋3)等於0或(x－3)等於0，因此，解方程(x＋3)(x－3)＝0就相當於解方程x＋3＝0或x－3＝0了，通過解這兩個一次方程就可得到原方程的解．這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
2．因式分解法其解法的關鍵是將一元二次方程分解降次為一元一次方程．其理論根據是：若a•b＝0 a＝0或b＝0．
【基礎知識講解】
1．只有當方程的一邊能夠分解成兩個一次因式，而另一邊是0的時候，才能應用因式分解法解一元二次方程．分解因式時，要根據情況靈活運用學過的因式分解的幾種方法．
2．在一元二次方程的四種解法中，公式法是主要的，公式法可以說是通法，即能解任何一個一元二次方程．但對某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接開平方法簡便，有的用因式分解法簡便．因此，在遇到一道題時，應選擇適當的方法去解．配方法解一元二次方程是比較麻煩的，在實際解一元二次方程時，一般不用配方法．而在以後的學習中，會常常用到因式分解法，所以要掌握這個重要的數學方法．
【例題精講】
例1：用因式分解法解下列方程：
(1)y2＋7y＋6＝0； (2)t(2t－1)＝3(2t－1)； (3)(2x－1)(x－1)＝1．
解：(1)方程可變形為(y＋1)(y＋6)＝0，y＋1＝0或y＋6＝0，∴y1＝－1，y2＝－6．
(2)方程可變形為t(2t－1)－3(2t－1)＝0，(2t－1)(t－3)＝0，2t－1＝0或t－3＝0，∴t1＝ ，t2＝3．
(3)方程可變形為2x2－3x＝0．x(2x－3)＝0，x＝0或2x－3＝0．
∴x1＝0，x2＝ ．
說明：(1)在用因式分解法解一元二次方程時，一般地要把方程整理為一般式，如果左邊的代數式能夠分解為兩個一次因式的乘積，而右邊為零時，則可令每一個一次因式為零，得到兩個一元一次方程，解出這兩個一元一次方程的解就是原方程的兩個解了．
(2)應用因式分解法解形如(x－a)(x－b)＝c的方程，其左邊是兩個一次因式之積，但右邊不是零，所以應轉化為形如(x－e)(x－f)＝0的形式，這時才有x1＝e，x2＝f，否則會產生錯誤，如(3)可能產生如下的錯解：
原方程變形為：2x－1＝1或x－1＝1．∴x1＝1，x2＝2．
(3)在方程(2)中，為什麼方程兩邊不能同除以(2t－1)，請同學們思考？
例2：用適當方法解下列方程：
(1) (1－x)2＝ ；(2)x2－6x－19＝0；(3)3x2＝4x＋1；(4)y2－15＝2y；(5)5x(x－3)－(x－3)(x＋1)＝0；
(6)4(3x＋1)2＝25(x－2)2．
剖析：方程(1)用直接開平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式後用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了．
解：(1)(1－x)2＝ ，(x－1)2＝3，x－1＝± ，∴x1＝1＋ ，x2＝1－ ．
(2)移項，得x2－6x＝19，配方，得x2－6x＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x－3)2＝28，x－3＝±2 ，
∴x1＝3＋2 ，x2＝3－2 ．
(3)移項，得3x2－4x－1＝0，
∵a＝3，b＝－4，c＝－1，
∴x＝ ，
∴x1＝ ，x2＝ ．
(4)移項，得y2－2y－15＝0，把方程左邊因式分解，得(y－5)(y＋3)＝0；
∴y－5＝0或y＋3＝0，∴y1＝5，y2＝－3．
(5)將方程左邊因式分解，得(x－3)〔5x－(x＋1)〕＝0，(x－3)(4x－1)＝0，
∴x－3＝0或4x－1＝0，
∴x1＝3，x2＝ ．
(6)移項，得4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0，
〔2(3x＋1)〕2－〔5(x－2)〕2＝0，
〔2(3x＋1)＋5(x－2)〕•〔2(3x＋1)－5(x－2)〕＝0，
(11x－8)(x＋12)＝0，
∴11x－8＝0或x＋12＝0，∴x1＝ ，x2＝－12．
說明：(1)對於無理係數的一元二次方程解法同有理數一樣，只不過要注意二次根式的化簡．
(2)直接因式分解就能轉化成兩個一次因式乘積等於零的形式，對於這種形式的方程就不必要整理成一般式了．
例3:解關於x的方程：(a2－b2)x2－4abx＝a2－b2．
解：(1)當a2－b2＝0，即｜a｜＝｜b｜時，方程為－4abx＝0．
當a＝b＝0時，x為任意實數．當｜a｜＝｜b｜≠0時，x＝0．
(2)當a2－b2≠0，即a＋b≠0且a－b≠0時，方程為一元二次方程．
分解因式，得
〔(a＋b)x＋(a－b)〕〔(a－b)x－(a＋b)〕＝0，
∵a＋b≠0且a－b≠0，
∴x1＝ ，x2＝ ．
說明：解字母系數的方程，要注意二次項係數等於零和不等於零的不同情況分別求解．本題實際上是分三種情況，即①a＝b＝0；②｜a｜＝｜b｜≠0；③｜a｜≠｜b｜．
例4:已知x2－xy－2y2＝0，且x≠0，y≠0，求代數式 的值．
剖析：要求代數式的值，只要求出x、y的值即可，但從已知條件中顯然不能求出，要求代數式的分子、分母是關於x、y的二次齊次式，所以知道x與y的比值也可．由已知x2－xy－2y2＝0因式分解即可得x與y的比值．
解：由x2－xy－2y2＝0，得(x－2y)(x＋y)＝0，∴x－2y＝0或x＋y＝0，∴x＝2y或x＝－y．
當x＝2y時， ．
當x＝－y時， ．
說明：因式分解法體現了“降次”“化歸”的數學思想方法，它不僅可用來解一元二次方程，而且在解一元高次方程、二元二次方程組及有關代數式的計算、證明中也有著廣泛的 應用．
【同步達綱練習】
1．選擇題
(1)方程(x－16)(x＋8)＝0的根是( )
a．x1＝－16，x2＝8 b．x1＝16，x2＝－8 c．x1＝16，x2＝8 d．x1＝－16，x2＝－8
(2)下列方程4x2－3x－1＝0，5x2－7x＋2＝0，13x2－15x＋2＝0中，有一個公共解是( )
a．．x＝ b．x＝2 c．x＝1 d．x＝－1
(3)方程5x(x＋3)＝3(x＋3)解為( )
a．x1＝ ，x2＝3 b．x＝ c．x1＝－ ，x2＝－3 d．x1＝ ，x2＝－3
(4)方程(y－5)(y＋2)＝1的根為( )
a．y1＝5，y2＝－2 b．y＝5 c．y＝－2 d．以上答案都不對
(5)方程(x－1)2－4(x＋2)2＝0的根為( )
a．x1＝1，x2＝－5 b．x1＝－1，x2＝－5 c．x1＝1，x2＝5 d．x1＝－1，x2＝5
(6)一元二次方程x2＋5x＝0的較大的一個根設為m，x2－3x＋2＝0較小的根設為n，則m＋n的值為( )
a．1 b．2 c．－4 d．4
(7)已知三角形兩邊長為4和7，第三邊的長是方程x2－16x＋55＝0的一個根，則第三邊長是( )
a．5 b．5或11 c．6 d．11
(8)方程x2－3|x－1|＝1的不同解的個數是( )
a．0 b．1 c．2 d．3
2．填空題
(1)方程t(t＋3)＝28的解為_______．
(2)方程(2x＋1)2＋3(2x＋1)＝0的解為__________．
(3)方程(2y＋1)2＋3(2y＋1)＋2＝0的解為__________．
(4)關於x的方程x2＋(m＋n)x＋mn＝0的解為__________．
(5)方程x(x－ )＝ －x的解為__________．
3．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋12x＝0； (2)4x2－1＝0； (3)x2＝7x；
(4)x2－4x－21＝0； (5)(x－1)(x＋3)＝12； (6)3x2＋2x－1＝0；
(7)10x2－x－3＝0； (8)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．
4．用適當方法解下列方程：
(1)x2－4x＋3＝0； (2)(x－2)2＝256； (3)x2－3x＋1＝0；
(4)x2－2x－3＝0； (5)(2t＋3)2＝3(2t＋3)；
(6)(3－y)2＋y2＝9；
(7)(1＋ )x2－(1－ )x＝0；
(8) x2－(5 ＋1)x＋ ＝0；
(9)2x2－8x＝7(精確到0．01)；(10)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．
5．解關於x的方程：
(1)x2－4ax＋3a2＝1－2a；(2)x2＋5x＋k2＝2kx＋5k＋6；
(3)x2－2mx－8m2＝0； (4)x2＋(2m＋1)x＋m2＋m＝0．
6．已知x2＋3xy－4y2＝0(y≠0)，試求 的值．
7．已知(x2＋y2)(x2－1＋y2)－12＝0．求x2＋y2的值．
8．請你用三種方法解方程：x(x＋12)＝864．
9．已知x2＋3x＋5的值為9，試求3x2＋9x－2的值．
10．一跳水運動員從10米高臺上跳水，他跳下的高度h(單位：米)與所用的時間t(單位：秒)的關係式h＝－5(t－2)(t＋1)．求運動員起跳到入水所用的時間．
11．為解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我們可以將x2－1視為一個整體，然後設x2－1＝y，則y2＝(x2－1)2，原方程化為y2－5y＋4＝0，解此方程，得y1＝1，y2＝4．
當y＝1時，x2－1＝1，x2＝2，∴x＝± ．
當y＝4時，x2－1＝4，x2＝5，∴x＝± ．
∴原方程的解為x1＝－ ，x2＝ ，x3＝－ ，x4＝ ．
以上方法就叫換元法，達到了降次的目的，體現了轉化的思想．
(1)運用上述方法解方程：x4－3x2－4＝0．
(2)既然可以將x2－1看作一個整體，你能直接運用因式分解法解這個方程嗎
參***
【同步達綱練習】
1．(1)b (2)c (3)d (4)d (5)b (6)a (7)a (8)d
2．(1)t1＝－7，t2＝4(2)x1＝－ ，x2＝－2(3)y1＝－1，y2＝－ (4)x1＝－m，x2＝－n(5)x1＝ ，x2＝－1
3．(1)x1＝0，x2＝－12；(2)x1＝－ ，x2＝ ；(3)x1＝0，x2＝7；(4)x1＝7，x2＝－3；(5)x1＝－5，x2＝3；(6)x1＝－1，x2＝ ；
(7)x1＝ ，x2＝－ ；(8)x1＝8，x2＝－2．
4．(1)x1＝1，x2＝3；(2)x1＝18，x2＝－14；(3)x1＝ ，x2＝ ；(4)x1＝3，x2＝－1；
(5)t1＝0，t2＝－ ；(6)y1＝0，y2＝3；(7)x1＝0，x2＝2 －3；
(8)x1＝ ，x2＝ ；(9)x1≈7.24，x2＝－3.24；(10)x1＝－1，x2＝－7．
5．(1)x2－4ax＋4a2＝a2－2a＋1，
(x－2a)2＝(a－1)2，
∴x－2a＝±(a－1)，
∴x1＝3a－1，x2＝a＋1．
(2)x2＋(5－2k)x＋k2－5k－6＝0，
x2＋(5－2k)x＋(k＋1)(k－6)＝0，
〔x－(k＋1)〕〔x－(k－6)〕＝0，
∴x1＝k＋1，x2＝(k－6)．
(3)x2－2mx＋m2＝9m2，(x－m)2＝(3m)2
∴x1＝4m，x2＝－2m
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