1樓：匿名使用者
求解二元一次不定方程一般利用下面定義定理分成以下步驟求整數。
第一步：判斷是否有解。(用定理1)
第二步：找出方程一組特解(x0,y0).一般對於係數較小時可試根得到。如果係數較大，可用輾轉相除法來求。
第三步：寫出不定方程通解式。(用定理二).
例1.求3x+21y=118的整數解。
解：由於3與21的最大公約數(3,21)=3,而118不能被3整除，故方程無整數解。
例2.求3x+21y=117的正整數解。
解：去除x,y係數的最大公約數：x+7y=39
因x係數為1較小，試根，顯然x=39,y=0是一組解(特解)。
因此，方程的通解為：x=39-7t,y=t.
要使解為正整數，t只能取為1，2，3，4，5.代入後就能得到相應的5組解。
例3.求119x-38y=887的整數解。
解：因係數較大，用輾轉相除法求解。
(119,38)=(38*3+5,38)=(5,38)=1,故方程有整數解。
方程變形為：5x+38(3x-y)=887=38*23+13;5x+38(3x-y-23)=13.
若令x1=x,y1=3x-y-23,那麼上面方程變為：5x1+38y1=13
又38=5*7+3，13=5*2+3，將方程變形為：5(x1+7y1-2)+3y1=3
再令x2=x1+7y1-2,y2=y1,則5x2+3y2=3.
這個方程係數已很小，容易觀察或試根得：x2=0,y2=1是乙個特解，往回代得，x1=-5,y1=1,進而x=-5,y=-39.
最後寫出通解式：x=38t-5,y=119t-39,t為任意整數。
2樓：匿名使用者
我們知道，如果未知數的個數多於方程的個數，那麼，一般來說，它的解往往是不確定的，例如方程
x-2y=3，
方程組等，它們的解是不確定的．像這類方程或方程組就稱為不定方程或不定方程組．
不定方程(組)是數論中的乙個古老分支，其內容極其豐富．我國對不定方程的研究已延續了數千年，「百雞問題」等一直流傳至今，「物不知其數」的解法被稱為中國剩餘定理．近年來，不定方程的研究又有新的進展．學習不定方程，不僅可以拓寬數學知識面，而且可以培養思維能力，提高數學解題的技能．
我們先看乙個例子．
例 小張帶了5角錢去買橡皮和鉛筆，橡皮每塊3分，鉛筆每支1角1分，問5角錢剛好買幾塊橡皮和幾支鉛筆？
解 設小張買了x塊橡皮，y支鉛筆，於是根據題意得方程
3x+11y=50．
這是乙個二元一次不定方程．從方程來看，任給乙個x值，就可以得到乙個y值，所以它的解有無數多組．
但是這個問題要求的是買橡皮的塊數和鉛筆的支數，而橡皮的塊數與鉛筆的支數只能是正整數或零，所以從這個問題的要求來說，我們只要求這個方程的非負整數解．
因為鉛筆每支1角1分，所以5角錢最多只能買到4支鉛筆，因此，小張買鉛筆的支數只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4這五個．
若y=3，則x=17/3，不是整數，不合題意；
若y=4，則x=2，符合題意．
所以，這個方程有兩組正整數解，即
也就是說，5角錢剛好能買2塊橡皮與4支鉛筆，或者13塊橡皮與1支鉛筆．
像這個例子，我們把二元一次不定方程的解限制在非負整數時，那麼它的解就確定了．但是否只要把解限制在非負整數時，二元一次不定方程的解就一定能確定了呢？不能！現舉例說明．
例 求不定方程x-y=2的正整數解．
解 我們知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以這個方程的正整數解有無陣列，它們是
其中n可以取一切自然數．
因此，所要解的不定方程有無陣列正整數解，它的解是不確定的．
上面關於橡皮與鉛筆的例子，我們是用逐個檢驗的方法來求它們的非負整數解的，但是這種方法在給出的數比較大的問題或者方程有無陣列解的時候就會遇到麻煩．那麼能不能找到乙個有效而又方便的方法來求解呢？我們現在就來研究這個問題，先給出乙個定理．
定理 如果a，b是互質的正整數，c是整數，且方程
ax+by=c ①
有一組整數解x0，y0則此方程的一切整數解可以表示為
其中t=0，±1，±2，±3，…．
證 因為x0，y0是方程①的整數解，當然滿足
ax0+by0=c， ②
因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．
這表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．
設x＇，y＇是方程①的任一整數解，則有
ax＇+bx＇=c. ③
③-②得
a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)． ④
由於(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整數．將y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at表示方程①的一切整數解，命題得證．
有了上述定理，求解二元一次不定方程的關鍵是求它的一組特殊解．
例1 求11x+15y=7的整數解．
解法1 將方程變形得
因為x是整數，所以7-15y應是11的倍數．由觀察得x0=2，y0=-1是這個方程的一組整數解，所以方程的解為
解法2 先考察11x+15y=1，通過觀察易得
11×(-4)+15×(3)=1，
所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，
可取x0=-28，y0=21．從而
可見，二元一次不定方程在無約束條件的情況下，通常有無陣列整數解，由於求出的特解不同，同乙個不定方程的解的形式可以不同，但它們所包含的全部解是一樣的．將解中的引數t做適當代換，就可化為同一形式．
二元一次不定方程,求整數解的方法. 50
3樓：月照星空
只能利用整數的性質，通過找公倍數，逐個試。可以找到整數解。
4樓：教育解答蘭兒老師
回答您好，很高興為您解答
求解二元一次不定方程一般利用下面定義定理分成以下步驟求整數。
第一步：判斷是否有解。(用定理1)
第二步：找出方程一組特解(x0,y0).一般對於係數較小時可試根得到。如果係數較大，可用輾轉相除法來求。
第三步：寫出不定方程通解式。(用定理二).
例1.求3x+21y=118的整數解。
解：由於3與21的最大公約數(3,21)=3,而118不能被3整除，故方程無整數解。
例2.求3x+21y=117的正整數解。
解：去除x,y係數的最大公約數：x+7y=39
因x係數為1較小，試根，顯然x=39,y=0是一組解(特解)。
因此，方程的通解為：x=39-7t,y=t.
要使解為正整數，t只能取為1，2，3，4，5.代入後就能得到相應的5組解。
例3.求119x-38y=887的整數解。
解：因係數較大，用輾轉相除法求解。
(119,38)=(38*3+5,38)=(5,38)=1,故方程有整數解。
方程變形為：5x+38(3x-y)=887=38*23+13;5x+38(3x-y-23)=13.
若令x1=x,y1=3x-y-23,那麼上面方程變為：5x1+38y1=13
又38=5*7+3，13=5*2+3，將方程變形為：5(x1+7y1-2)+3y1=3
再令x2=x1+7y1-2,y2=y1,則5x2+3y2=3.
這個方程係數已很小，容易觀察或試根得：x2=0,y2=1是乙個特解，往回代得，x1=-5,y1=1,進而x=-5,y=-39.
最後寫出通解式：x=38t-5,y=119t-39,t為任意整數。
0 真心希望我的回答可以幫助到您，願您天天快樂！
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在二元一次不定方程中，特解一般怎麼求
5樓：匿名使用者
一般可用試驗法求出一組特解。如3x+2y=20的正整數解有哪些？可以先設x=2,解得y=7。
為什麼從2試起？很明顯，第二個加數2y是偶數，和是20，也是偶數，所以第一項也必須是偶數，這樣就知道x最小是2。得到一組特解x=2，y=7，就可以得到通解了:
x=2+2k，y=7-3k。(k為整數)
但有時很可能數字大，很難一下子就試驗出結果，怎麼辦呢？
還是舉個例子吧，如
54x-67y=10，這個不定方程的正整數解有無數個，但怎麼得到乙個特解？
首先將方程變形為
54x=67y+10
x=(67y+10)/54=y+(13y+10)/54令(13y+10)/54=m，得
13y=54m-10
y=(54m-10)/13=4m+(2m-10)/13令(2m-10)/13=n，得
2m=13n+10
m=(13n+10)/2=6n+(n+10)/2至此，已經很容易得出n=0（或任一偶數），可使方程有整數解。
n=0時，逐步反推出m=5，y=20，x=25，這樣就得到原方程的一組特解為
x=25,y=20
那麼通解為
x=25+67k，y=20+54k。（k為整數）
6樓：侯衍花珠玉
用尤拉法.ax+by=c,第一步判斷是否有整數解（a,b)|c2,將係數較小的用含另乙個未知數的式子表示.3分離表示式,將分數部分表示為t.
4重複上面步驟,直到乙個係數為1,得到：t`n-1=dtn+e,d,e為整數.5倒代.
例子：7x+8y=9x=(9-8y)/7=1-y+(2-y)/7令y=7t+2x=1-7t-2－t=-8t-1得到通解,t取任意整數,可得到二元一次不定方程任意整數解.
二元一次不定方程的正整數通解一般如何求？有公式嗎
7樓：乙個人郭芮
二元一次不定方程
那麼就是一條直線
正整數解即x和y都是整數
可以化成x=f(y)
再代入y的正整數即可
不定方程（二元一次方程）的有無整數解判斷通常是？
8樓：
ax+by=c(abc均為整數)，若a,b的某個公約數不是c的約數，則該方程無整數解，
有解的條件是a,b的最大公因數能夠整除c，2x-5y=4，
此處 a=2,b=-5,a,b的最大公因數是1,1整除4，所以有解。
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9樓：
如果x,y是一組解，a x + b y + c = 0
則任意整數k，有: a(x- kb) + b(y+ka) + c = a x + b y + c=0
即 x-kb, y+ka也是其解，由k的任意性，所以方程有無窮多解。
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10樓：甘肅數學陸春
如解二元一次不定方程5x+8y=23，
解:y=(23-5x)/8=(23-5x＇)/3=(3-5x")/3=1-5x"′=1-5t
(注:此刻令了ⅹ"′=t)
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