1樓：匿名使用者
∫∫(x+y)dσ
=∫<-1,1>dx∫<0,1+√(1-x^2)>(x+y)dy
=∫<-1,1>dx(xy+y^2/2)|<0,1+√(1-x^2)>
=∫<-1,1>dx,
其中x[1+√(1-x^2)]是奇函式，其積分為0，[1+√(1-x^2)]^2是偶函式，
所以上式=2∫<0,1>[1+√(1-x^2)]^2dx
=2∫<0,1>[2-x^2+2√(1-x^2)]dx,
設x=sinu,則dx=cosudu,
上式=2∫<0,π/2>[2-sin^u+2cosu]cosudu
=2∫<0,π/2>[2cosu-sin^ucosu+1+cos2u]du
=2[2sinu-(1/3)(sinu)^3+u+(1/2)sin2u]|<0,π/2>
=2[2-1/3+π/2]
=10/3+π。
2樓：匿名使用者
積分域關於 y 軸對稱， 則奇函式 x 的積分為 0.
i = ∫∫ydxdy = ∫<-1, 1>dx∫<0, 1+√(1-x^2)>ydy
= (1/2)∫<-1, 1>[2-x^2+2√(1-x^2)]dx= ∫<0, 1>[2-x^2+2√(1-x^2)]dx= [2x - x^3/3]<0, 1> + ∫<0, π/2>2(cost)^2dt
= 5/3 + π/2
3樓：匿名使用者
我算出來也是7/3+π/2，
另外從-1到1的積分∫√(1-x²)dx需要換元計算可以令x=sinθ，θ∈（-π/2，π/2）所以積分=從-π/2到π/2∫cosθdsinθ=∫cos²θdθ=½∫(1+cos2θ)dθ=½∫dθ+½∫½dsin2θ
由於θ∈（-π/2，π/2）時sin2θ是奇函式，所以積分為0，上式=½∫dθ=π/2
計算二重積分∫∫(x+y)dσ,其中d:{(x,y)|x²+y²≤1｝。
4樓：匿名使用者
為0，為什麼呢，很簡單，這個區域是關於關於x軸對稱的，分段求，上下消掉了
5樓：匿名使用者
r^2-2rcosa<=0
r(r-2cosa)<=0
r<=2cosa
∬(x y)dxdy=∬xdxdy=∬rcosa*r*drda=2*∫(0到pi/2)cosa*da∫(2到0)r^2*dr
=2*(0-1)*(0-8/3)=16/3a=0,r=2; a=pi/2,r=0
求二重積分∫∫(x²+y²)dσ,其中d={(x,y)|x|≦1,|y|≦1}
6樓：幻化x星光螺
積分割槽域為方形的話是可以化為兩步一重定積分的。
首先對x積分，不定積分為x^3/3+y^2x，代入上下限1和-1，得到2/3+2y^2
再對y積分，不定積分為2/3y+2/3y^3，代入上下限1和-1，得到8/3
求高手幫忙 求二重積分∫∫（√（x²+y²）+y）dσ
7樓：匿名使用者
如圖所示：
積分割槽域是那個月亮形狀的，由於關於x軸對稱，所以y的積分值為0.
畫出積分割槽域，求二重積分 ∫∫（x²+y）dσ 其中y＝x²，y＝2-x²？
8樓：匿名使用者
解方程組y＝x²，y＝2-x²得(x,y)=(土1,1）。
原式=∫<-1,1>dx∫dx[x^2y+y^2/2]|=∫<-1,1>[x^2(2-2x^2)+2-2x^2]dx=∫<-1,1>(2-2x^4)dx
=[2x-(2/5)x^5]|<-1,1>=4-4/5
=16/5.
計算:二重積分∫∫（x²+y²+1）dσ,d為圓域x²+y²＜=1
9樓：巴山蜀水
解：設x=ρcosθ，
抄y=ρsinθ，∴0≤襲
ρ≤1，0≤θ≤2π，∴d=。
∴原式=∫(0,2π)dθ∫(0,1)(1+ρ^2)ρdρ。
而，∫(0,1)(1+ρ^2)ρdρ=[(1/2)ρ^2+(1/4)ρ^4]丨(ρ=0,1)=3/4。
∴原式=3π/2。供參考。
∫∫（x+2y）dσ,其中d由直線x=0,y=0,x+y=1所圍成。求二重積分。
10樓：匿名使用者
d:y=1-x
原式=∫62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333335316462 （0到1）dx ∫ （0到(1-x)） x+2y dy =
∫ （0到1） （xy+y²）|（y=0到y=1-x）dx =
∫ （0到1） （x(1-x)+(1-x)²）dx =
∫ （0到1） （-2x²+x+1）dx =
（(-2/3)x³+(1/2)x²+x）|（從x=0到x=1）=
-2/3 + 1/2 + 1 = 5/6
我這裡所使用的是先y後x
積分的時候，看d：
如果是先積y再積x
那麼上限就是上邊的曲線方程y=y2(x)，下限就是下邊的曲線方程y=y1(x)
然後定積分∫ f(x,y)dy
得出關於x的函式g(x)
再積x：x的範圍，就是在d的x的取值範圍，上下限也不用我說了吧？
然後定積分∫ g(x)dx
這就是對d上的二重積分∫ ∫ f(x,y)dxdy的其中一種計算方法；
這種方法還有另外一種方式，就是先積x再積y：
右邊的曲線方程x=x2(y)，左邊的曲線方程x=x1(y)
然後計算g(y)=∫ （x1(y)到x2(y)）f(x,y) dx
再計算定積分∫ g(y)dy
當然這個上下限，就是d區域的y值的最小值及最大值
對於這道題而言，用第二種方式的話，就是
x2(y)=1-y
x1(y)=0（就是y軸方程）
把區域d畫出來（這道題目是三角形），範圍顯而易見；
用極座標，推導過程就不說了
利用公式x=rcosθ,y=rsinθ，
代入f(x,y)
原雙重積分可化為∫ ∫ f(rcosθ,rsinθ) rdrdθ
注意：後邊是rdrdθ，不要漏了個r就寫成∫ ∫ f(rcosθ,rsinθ) drdθ
然後極座標一般習慣先積r得到關於θ的方程g(θ)，
上限r=r2(θ)，下限r=r1(θ)
上限就是離極點（因為習慣在建立極座標系的時候極點跟原點重合，極軸跟x軸重合）遠的那條曲線方程，下限就是離極點近的（原點近的）那條曲線方程。
再積分∫ g(θ)dθ，
上下限的確定就看θ的最值
θ表示的意義：跟x軸正向，繞原點旋轉，一定是逆時針為正向，所得到的角度的範圍
舉個例子：
兩個1/4圓o1和o2，半徑分別是4和2，都在第一象限，組成的區域d是個四分之一圓環
顯然的，積分r的時候，上限就是r=4，下限就是r=2.
旋**θ的範圍就是0到π/2
（或者你要寫成-π到-3π/2等等都行，只要你能算對就行，算錯，，呵呵，你懂得）
所以上限就是π/2，下限就是0.
極座標在這題不適合，比較適合的題型是含有x²+y²的d區域的題目。因為一般有出現x²+y²都是加了根號的、用直角座標算很難算的那種題。
還有一種，就是引數方程。。太晚了，就此打住吧。。
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