1樓：匿名使用者
解：令p=xy²，q=yz²，r=zx²
則αp/αx=y²，αq/αy=z²，αr/αz=x²
∴根據高斯定理，有
=∫∫∫(αp/αx+αq/αy+αr/αz)dxdydz
=∫∫∫(x²+y²+z²)dxdydz (d表示上半球面，s表示xy平面圓：x²+y²=1，v表示d+s)
=∫<0,2π>dθ∫<0,π/2>sinφdφ∫<0,1>r²*r²dr (做球面座標變換)
=(2π-0)(1-0)(1/5-0)
=2π/5
∵∫∫xy²dydz+yz²dzdx+zx²dxdy=0 (∵z=0，∴dz=0)
=2π/5-0
=2π/5。
2樓：雲no夢澤
利用高斯公式，先求出整個球面上的這值，再取其值的一半。。
高數二重積分題，設∑為上半球面z=√(a^2-x^2-y^2)的上側，則∫∫∑xydydz+yz
3樓：匿名使用者
解題過程如copy下圖：
積分的線性性質du
性質1 （積分可加性） 函式zhi和（差）的二重積分等於dao各函式二重積分的和（差）。
性質2 （積分滿足數乘） 被積函式的常係數因子可以提到積分號外。
比較性性質3 如果在區域d上有f(x,y)≦g(x,y)估值性性質4 設m和m分別是函式f(x,y)在有界閉區域d上的最大值和最小值，σ為區域d的面積。
性質5 如果在有界閉區域d上f(x,y)=k（k為常數)，σ為d的面積，則sσ=k∫∫dσ=kσ。
4樓：匿名使用者
補上底面後使用高斯公式：
5樓：樓蘭閔澤
高數曲面積 設∑球面x^2+y^2+z^2=a^2,則曲面積(x+y+z)^2ds=?
原式=∫∫
回(x2+y2+z2+2xy+2yz+2xz)ds=∫∫(x2+y2+z2)ds+∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds
=∫∫a 2ds +0+0+0
=a2 ?4πa2
=4πa^4
注：1、∫∫(x2+y2+z2)ds=∫∫a 2ds （利答用曲面積曲面程代入）
2、∫∫2xyds+ ∫∫2yz ds+∫∫ 2xzds=0+0+0 （利用曲面積稱性）
∫∫xydydz +yzdzdx +zxdxdy, 其中σ為上半球面z =√a ^2－x ^2－y
6樓：牛皮哄哄大營
就乙個答案因為分母x^2+y^2+z^2在曲面σ：x^2+y^2+z^2=a^2上所以可以直接把含有x^2+y^2+z^2的都換為a^2 這是曲線和曲面積分的特性，就能省去挖孔的步驟但是，若這裡的分母不是x^2+y^2+z^2的話，比如x^2+2y^2+3z^2 做法就不同了，不能直接代入，而是需要挖乙個x^2+2y^2+3z^2=t^2,t->0 的小橢球，來避免奇點，這樣圍成的曲面就能用高斯公式了再詳細一點的，許多人都把重積分和線面積分都混淆了實際上重積分是不能直接這樣代入的因為重積分的方程是x^2+y^2+z^2≤a^2 但是面積分的方程是x^2+y^2+z^2=a^2 這個不等號和等號是關鍵所在了重積分方程要用等號表示時，一定要說明由是哪些曲面圍成的封閉體積例如由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的體積，這裡可用等號表示或者直接說體積範圍是z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2) 但是，對於曲面積分，就不能用z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)來表示了只能說由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的曲面的全外側等等也有乙個要點當是全外(內)側的曲面積分時，若被積函式有相應的積分方程式子可以先直接代入，但是用了高斯公式變為三重積分後，就不能這麼做了，要注意哦
i=∫∫ xz^2dydz+(y*x^2-z^3)dzdx+(2xy+z*y^2)dxdy /x^2+y^2+z^2,積分曲面為上半球面z=√a^2-x^2-y^2外側
7樓：匿名使用者
就乙個答案
因為分母x^2+y^2+z^2在曲面σ：x^2+y^2+z^2=a^2上
所以可以直接把含有x^2+y^2+z^2的都換為a^2
這是曲線和曲面積分的特性，就能省去挖孔的步驟
但是，若這裡的分母不是x^2+y^2+z^2的話，比如x^2+2y^2+3z^2
做法就不同了，不能直接代入，而是需要挖乙個x^2+2y^2+3z^2=t^2,t->0
的小橢球，來避免奇點，這樣圍成的曲面就能用高斯公式了
再詳細一點的，
許多人都把重積分和線面積分都混淆了
實際上重積分是不能直接這樣代入的
因為重積分的方程是x^2+y^2+z^2≤a^2
但是面積分的方程是x^2+y^2+z^2=a^2
這個不等號和等號是關鍵所在了
重積分方程要用等號表示時，一定要說明由是哪些曲面圍成的封閉體積
例如由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的體積，這裡可用等號表示
或者直接說體積範圍是z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)
但是，對於曲面積分，就不能用z≥√(x^2+y^2)和z≤√(1-x^2-y^2)來表示了
只能說由z=√(x^2+y^2)和z=√(1-x^2-y^2)圍成的曲面的全外側等等
也有乙個要點
當是全外(內)側的曲面積分時，若被積函式有相應的積分方程式子
可以先直接代入，但是用了高斯公式變為三重積分後，就不能這麼做了，要注意哦
計算曲面積分i=? σyzdzdx+2dxdy，其中σ為上半球面z=4?x2?y2的上側
8樓：鳳納
補充曲面：∑
：z＝0 (x
+y≤4)取下側，則
i＝∫∫
∑+∑yzdzdx+2dxdy
?∫∫∑
yzdzdx+2dxdy=i1-i2
其中i1應用高斯公式，得
i＝∫∫∫
ωzdxdydz （ω為∑+∑1所圍成的立體區域）=∫10zdz∫∫dz
dydz （dz：x
+y≤4?z）=7
4π而i2由於∑1在zox面的投影為0，在xoy面的投影為d：x2+y2≤4
∴i＝2∫∫
∑dxdy＝?2∫∫
ddxdy＝?8π
∴i＝7
4π+8π＝394π
9樓：茹翊神諭者
簡單計算一下即可，答案如圖所示
∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy,其中曲面為x^2+y^2+z^2=1的上半部分外側
10樓：丘冷萱
補平面σ1：z=0，x²+y²≤1，下側，則該平面與原來曲面構成封閉曲面，可以用高斯公式
∫∫x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=2∫∫∫(x+y+z)dxdyz
由於積分區域關於xoy面和xoz面對稱，因此x，y的積分均為0，被積函式只剩下z
=2∫∫∫ z dxdyz
用截面法
=2∫[0→1] z dz∫∫ 1 dxdy 其中二重積分的積分區域為：x²+y²≤1-z²，該區域面積：π(1-z²)
=2π∫[0→1] z(1-z²) dz
=π(z²-(2/4)z³) |[0→1]=π/2
然後將σ1上的積分減去
∫∫(σ1) x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=0因此原積分=π/2-0=π/2
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