數列題,求高手啊!設Sn是數列an的前n項和,an是Sn和2的等差中項,an的通項公式an 2 n

時間 2022-05-12 20:20:05

1樓:

解:(1)第一問是在於理解。取決定因素的是j,而j一旦確定,i就從1變化增大到j,所以tn的乙個單項(新數列bn)為aj*a1+aj*a2+……aj*aj(這個整體是新數列bn的一項,是第j項,因j而變的),那麼tn=從1到n角標為j的每一項的和:

tn=σ(1到n)aj*(σ(1到j)aj)

=σ(1到n)[2^(2j+1)-2^(j+1)]=[2^(2n+3)]/3-2^(n+2)+4/3

(2)第二問很給力啊。把(1)中得到通項公式帶入(2)中。上下同乘以3,然後把3/4常數項給提出來,分母你把2^n看成x,你發現能因式分解:

變成這樣(3/4)* (2^n)/(2*(2^n) -1)*((2^n)-1),興奮滴看到了3/4的蹤影。而3/4右邊的這個大式子正好可以列項。(2^n)/(2*(2^n) -1)*((2^n)-1),=1/*((2^n)-1)- 1/(2*(2^n)-1),(就先換成x更直白)更興奮了,這兩項就是數列bn= 1/((2^n)-1)的第n項和n+1項了麼?

這就跟1/n(n+1)列項為1/n - 1/(n+1) 不是乙個道理麼,加的時候中間前後重複的項都消去了不是?比葫蘆畫瓢, 掐頭去尾,m=(3/4)*[1 - 1/(2*(2^n)-1),] ,很直**到,後面的帶n的數有最大值時,m有最小值, 分母最小時不正符合題意麼?n=1,帶入,mmin=1/2;

而後面的那個恆大於0.所以,m<(3/4)*1=3/4

此題應為數列壓軸題,而你記住,如果只有一組不等式,往往採用放縮的方法,而有兩組不等式針對同乙個數列和時,往往採用列項相消的方法。而上了大學,或者告訴你乙個很萬金油的做法就是利用函式,把數列歸納到函式,求導,得值域。但應依照情況而定。

我的回答你滿意麼?

2樓:匿名使用者

解:(1)a1=2,an=2^n,2an=sn+2,sn=2*2^n-2=2(2^n-1)

tn=(a1+a2+a3+...+an)^2=(2+2^2+2^3+...+2^n)^2=[2*(2^n-1)]^2=2^(2n+2)-2^(n+3)+4

(2)t1=4,t2=36,t3=196,...,tn=2^(2n+2)-2^(n+3)+4

∵n≥1,(2^n-1)^2>0,∴2^(2n)-2^(n+1)+1>0,2^(2n)+1>2^(n+1),兩邊乘以4,得到

2^(2n+2)+4>2^(n+3),2^(2n+2)-2^(n+3)+4>0,tn>0。

m=2/t1+4/t2+8/t3+...+2^n/tn

=1/2+1/9+2/25+...+2^n/tn

∵tn>0,n≥1,∴m≥2/t1=1/2。

m=1/2+1/9+2/49+...+2^n/[2^(2n+2)-2^(n+3)+4]

3樓:匿名使用者

(1) 已知,an是sn和2的等差中項

則sn+2=2an sn=2an-2

n=1時 s1=2a1-2 解得a1=2

n>1時 s(n-1)=2a(n-1)-2

所以an=sn-s(n-1)=2an-2a(n-1)

即an=2a(n-1)

所以是公比為2的等比數列

故an=2*2^(n-1)=2^n

sn=2an-2=2^(n+1)-2

(1) 當1≤i≤j≤n,(i,j,n均為正整數)時,求ai和aj的所有可能的成績ai*aj之和tn

即tn=(a1+a2+....+an)(a1+a2+...+an)

=sn×sn

=[2^(n+1)-2]*[2^(n+1)-2]

=4(2^n-1)²

=4[2^(2n)-2^(n+1)+1]

(2) 由(1)知tn=4(2^n-1)²>0

當n=1時 2/t1=2/[4(2^2-2^2+1)]=1/2

當n>1時 2^n-2^(n-1)=2^(n-1)≥2

即2^n-2≥2^(n-1)

2^n/tn=(1/4)*2^n/[2^(2n)-2^(n+1)+1]

<(1/4)*2^n/[2^(2n)-2^(n+1)]

=(1/4)*[1/(2^n-2)]

≤(1/4)*(1/2)^(n-1)

m=( 2/t1)+(2^2/t2)+…+(2^n/tn)

=1/2+4/[4(2^4-2^3+1]+....+2^n/{4[2^(2n)-2^(n+1)+1]

>1/2

m=( 2/t1)+(2^2/t2)+…+(2^n/tn)

<1/2+(1/4)*(1/2)+(1/4)*(1/2)^2+....+(1/4)*(1/2)^(n-1)

=1/2+(1/4)*(1/2)*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)

=1/2+(1/4)*[1-(1/2)^(n-1)]

=1/2+1/4-(1/2)^(n+1)

=3/4-(1/2)^(n+1)

<3/4

所以1/2

設正數數列{an}的前n項和為sn,且對任意的n∈n*,sn是an2和an的等差中項.(1)求數列{an}的通項公式;(

4樓:杰倫

(1)由題意得,2sn=an

2+an①,

當n=1時,2a1=a1

2+a1

,解得a1=1,…(1分)

當n≥2時,有2sn-1=an-1

2+an-1②,

①式減去②式得,2an=an

2-an-1

2+an-an-1

於是,an

2-an-1

2=an+an-1,(an+an-1

)(an-an-1)=an+an-1,…(2分)因為an+an-1>0,所以an-an-1=1,所以數列是首項為1,公差為1的等差數列,…(3分)所以的通項公式為an=n(n∈n*).…(4分)(2)設存在滿足條件的正整數m,

則n(n+1)

2?1005>n2,n

2>1005,n>2010,…(6分)

又m=,

所以m=2010,2012,…,2998均滿足條件,它們組成首項為2010,公差為2的等差數列.…(8分)設共有k個滿足條件的正整數,

則2010+2(k-1)=2998,解得k=495.…(10分)所以,m中滿足條件的正整數m存在,

共有495個,m的最小值為2010.…(12分)(3)設un=1

sn,即un

=2n(n+1)

,…(15分),

則u+u

+…+un=2

1×2+2

2×3+…+2

n(n+1)

=2[(1?1

2)+(12?1

3)+…+(1n?1

n+1)]=2(1?1

n+1),

其極限存在,且lim

n→∞(u

+u+…+u

n)=lim

n→∞[2(1?1

n+1)]=2.…(18分)

注:un=cs

n(c為非零常數),u

n=(12)

c?sn

n+1(c為非零常數),un

=qc?s

nn+1

(c為非零常數,0<|q|<1)等都能使limn→∞(u

+u+…+u

n)存在.

設{an}是等差數列,sn是數列{an}的前n項和,求證:數列{sn/n}是等差數列。(2)在等差數列{an}中,

5樓:夏天為飄零的雨

由1知(sn/n)是等差數列。

由2中知tn=sn/n的公差為d=1.

a1=-2008 即s1=-2008 t1=-2008t2008=s2008/2008=t1+2007*d=-1s2008=-2008

6樓:巨星李小龍

2、顯然sn/n 也是等差數列,首項為s1/a1=1公差為d=2/2=1

故sn/n=n

則s2008=2008^2

已知數列{an}的通項為an,前n項和為sn,且an是sn與2的等差中項;數列{bn}中,b1=1,點p(bn,b(n+1))在直線x

7樓:匿名使用者

解:(1)

an是sn和2的等差中項,則2an=sn +2

n=1時,2a1=a1+2 a1=2

sn=2an-2

sn-1=2a(n-1)-2

an=sn-sn-1=2an-2a(n-1)

an=2a(n-1)

an/a(n-1)=2

數列是以2為首項,2為公比的等比數列。

an=2^n

x=bn y=b(n+1)代入直線方程:bn-b(n+1)+2=0

b(n+1)-bn=2,為定值。

又b1=1,數列是以1為首項,2為公差的等差數列。

bn=1+2(n-1)=2n-1

綜上,數列的通項公式為an=2^n,數列的通項公式為bn=2n-1

(2)bn=n+2n(n-1)/2=n²

1/b1+1/b2+...+1/bn=1/1²+1/2²+...+1/n²

<1+1/(1×2)+1/(2×3)+...+1/[(n-1)n]

=1+1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/n

=2-1/n<2

(3)tn=b1/a1+b2/a2+...+bn/an

=1/2^1+3/2^2+...(2n-1)/2^n

tn/2=1/2^2+3/2^3+...+(2n-3)/2^n+(2n-1)/2^(n+1)

tn-tn/2=tn/2=1/2^1+2/2^2+2/2^3+...+2/2^n-(2n-1)/2^(n+1)

=1/2^1+1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)

=1/2+(1/2)[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^(n+1)

=1/2+1-(1/2)^(n-1)-(2n-1)/2^(n+1)

=3/2-(2n+3)/2^(n+1)

tn=3-(2n+3)/2^n<3

令f(n)=(2n+3)/2^n

f(n+1)-f(n)=(2n+5)/2^(n+1)-(2n+3)/2^n=-(2n+1)/2^(n+1)<0

f(n+1)∞時,(2n+3)/2^n->0,

tn->3。

要對一切正整數n,tn

8樓:匿名使用者

(1)an是sn與2的等差中項 =>sn+2=2an sn=2an-2

n=1時, s1=2a1-2 a1=2

n>=2時,an=sn-s(n-1)=2an-2a(n-1)

an=2a(n-1)

是以2為首項,2為公比的等比數列

an=2^n

綜上所述an=2^n

bn-b(n+1)+2=0

是以1為首項,2為公差的等差數列

bn=1+2(n-1)=2n-1

(2)bn=n[1+(2n-1)]/2=n^2

n=1時,1/b1<2

n>1時,1/bn=1/n^2<1/(n+1)(n-1)=1/2[1/(n-1)-1/(n+1)]

1/b1+1/b2+...+1/bn=1+1/2[1-1/2+1/2-1/3+...+1/(n-1)-1/(n+1)]

=1+1/2*n/(n+1)<1+1/2<2

所以1/b1+1/b2+…+1/bn<2

(3)bn/an=(2n-1)/2^n

tn錯位相減

tn=1/2^1+3/2^2+5/2^3+...+(2n-1)/2^n

2tn=1+3/2^1+5/2^2+...+(2n-1)/2^(n-1)

2tn-tn=1+2/2^1+2/2^2+2/2^3+...+2/2^(n-1)-(2n-1)/2^n

tn=1+2/2^1*[1-(1/2)^(n-1)]/(1-1/2)-(2n-1)/2^n

靠,無語死了,下面的自己化簡吧

不採納就對不起人

設數列an前n項和為sn,且sn 2 n1 數列bn滿足

n 1時,a1 s1 2 1 1 2 1 1 n 2時,sn 2 n 1 sn 1 2 n 1 1 sn sn 1 an 2 n 1 2 n 1 1 2 n 1 n 1時,a1 2 1 1 2 0 1,同樣滿足。數列的通項公式為an 2 n 1 b n 1 2bn 8 2 n 1 2 n 2 b n...

數列an的前n項和是sn若數列an的各項按如下規則排列

前1項的和為1 2 前1 2項的和為1 2 2 2 1.5 前1 2 3項的和為1 2 2 2 3 2 3前1 2 3 4項的和為1 2 2 2 3 2 4 2 5前1 2 n項的和為1 2 2 2 n 2 n n 1 4 構造新的數列,1 2,2 2,3 2,4 2,和為1 2 2 2 n 2 n...

設Sn是等差數列an的前n項和,若S

s6 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a1 a2 a3 a1 3d a2 3d a3 3d s3 s3 9d 2s3 9d d為公差 也就是s6 2s3 9d 又由題幹可知,s3 1 3 s6代入可得,s6 27d 同樣方法,s12 s6 a7 a8 a9 a10 a11 a12 s6 s6 6...