1樓：匿名使用者
棣莫弗定理
設兩個複數(用三角形式表示)z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,z2=r2(cosθ2+isinθ2),則:
z1z2=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.
證:先講一下複數的三角形式的概念.在複數平面上,可以用向量z(a,b)來表示z=a+ib.
於是,該向量可以分成兩個在實軸,虛軸上的分向量.如果向量z與實軸的夾角為θ,這兩個分向量的模分別等於rcosθ,risinθ(r=√a^2+b^2).所以,複數z可以表示為z=r(cosθ+isinθ).
這裡θ稱為複數z的輻角.
因為z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,z2=r2(cosθ2+isinθ2),所以
z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2【(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)】
=r1r2【cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)】.
其實該定理可以推廣為一般形式:
棣莫弗定理 -
棣莫弗定理的推廣
設n個複數z1=r1(cosθ1+isinθ1)
,z2=r2(cosθ2+isinθ2),……，zn=rn(cosθn+isinθn),
則：z1z2……zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.
證：用初等數學的知識已經不好來證明這個定理推廣，需要運用尤拉公式「e^iθ=cosθ+isinθ」（詳見我的詞條《泰勒公式》）給予證明.把所有的複數改寫成冪指數的形式，即：
z1=r1e^iθ1,z2=r2e^iθ2,……，zn=rne^iθn,
所以有：
z1z2……zn=r1r2……rne^i(θ1+θ2+……+θn).再把這個指數形式改寫成三角形式就可得到：
z1z2……zn=r1r2……rn【cos(θ1+θ2+……+θn)+isin(θ1+θ2+……+θn)】.
2樓：今晚打小鼠
你好、反過來能使用「棣美弗公式」(cosθ+isinθ)^n=cos(nθ)+isin(nθ)。
將複數開平方推向更一般的n方根，不用解二元n次方程，直接寫出開方公式．
設複數z的模為r，輻角為θ，即z=r(cosθ+isinθ)，則z的n次方根為：
z^(1/n)
=[r^(1/n)]，
k=0，1，2，3，……，n-1．
什麼叫棣莫弗公式？
3樓：手牽手的幸福
設兩個複數(用三角形式表示)z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，則:z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]。
證:先講一下複數的三角形式的概念。在復平面c上，用向量z(a,b)來表示z=a+bi。
於是，該向量可以分成兩個在實軸，虛軸上的分向量.如果向量z與實軸的夾角為θ，這兩個分向量的模分別等於rcosθ,rsinθ(r=√a^2+b^2)。所以，複數z可以表示為z=r(cosθ+isinθ)。
這裡θ稱為複數z的輻角。
因為z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2(cosθ2+isinθ2)，所以
z1z2=r1r2(cosθ1+isinθ1)(cosθ2+isinθ2)
=r1r2(cosθ1cosθ2+icosθ1sinθ2+isinθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)
=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(cosθ1sinθ2+sinθ1cosθ2)]
=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]
其實該定理可以推廣為一般形式。
證:用數學歸納法即可，歸納基礎就是兩個複數相乘的棣莫弗定理。
如果把棣莫弗定理和尤拉(euler)公式"e^iθ=cosθ+isinθ"(參見《泰勒公式》，嚴格的證明需要復分析)放在一起看，則可以用來理解尤拉公式的意義。
4樓：匿名使用者
複數乘方用三角表示式來解比較簡便.
複數r(cosθ+isinθ)的n次方是：
z^n=[r(cosθ+isinθ)]^n=r^n(cosnθ+isinnθ)
n∈n.
複數開方也用三角表示式來解比較簡便.
複數r(cosθ+isinθ)的n次方根是：
(n次根號r){cos[(θ+2kπ)/n]+isin[(θ+2kπ)/n]
(k=0,1,2,......). n∈n.
這兩條公式叫做棣莫弗公式
棣莫弗公式證明:
先引入尤拉公式：e^ix = cosx + isinx
將e^t，sint ， cost 分別為泰勒級數：
e^t = 1 + t + t^2/2! + t^3/3! + …… + t^n/n！+ ……
sint = t - t^3/3!+t^5/5!-t^7/7!+……-……
cost = 1 - t^2/2!+t^4/4!-t^6/6!+……-……
將t = ix 代入以上三式 ，可得尤拉公式
應用尤拉公式，（cosx＋isinx）^n = (e^ix)n
=e^inx
=cos(nx)+isin(nx)
5樓：橫槊當歌
複數相乘，模長相乘，輻角相加。
關於棣莫弗定理
日中天 不成立！cos sin 是實數，化為三角形式為 當cos sin 0時，cos sin cos sin cos0 isin0 當cos sin 0時，cos sin cos sin cos isin 所以，cos sin 的模是 cos sin 它的輻角是 0或 而不是 當cos sin 0...
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