1樓：我愛芳芳
南京市2023年初中畢業生學業考試
數 學
數學注意事項：
1． 本試卷共6頁，全卷滿分120分，考試時間為120分鐘，考生答題全部答在答題卡上，答在本試卷上無效．
2． 請認真核對監考教師在答題卡上所有貼上條形碼的姓名、考試證號是否與本人相符合，再將自己的姓名、准考證號用0.5毫米的黑色墨水簽字筆填寫在答題卡及本試卷上．
3． 答選擇題必須用2b鉛筆將答題卡上對應的答案標號塗黑．如需要改動，請用橡皮擦乾淨後，再選塗其他答案，答非選擇題必須0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上指定位置，在其他位置答題一律無效．
4． 作圖必須用2b鉛筆作答，並**黑加粗，描寫清楚．
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的，請將正確的選項的字母代號填塗在答題卡相應位置上）
1． 的值等於
a．3 b．－3 c．±3 d．
2．下列運算正確的是
a．a2＋a3=a5 b．a2•a3=a6 c．a3÷a2=a d．(a2)3=a8
3．在第六次全國人口普查中，南京市常住人口約為800萬人，其中65歲及以上人口占9.2%．則該市65歲及以上人口用科學記數法表示約為
a．0.736×106人 b．7.36×104人 c．7.36×105人 d．7.36×106 人
4．為了解某初中學校學生的視力情況，需要抽取部分學生進行調查，下列抽取學生的方法最合適的是
a．隨機抽取該校一個班級的學生
b．隨機抽取該校一個年級的學生
c．隨機抽取該校一部分男生
d．分別從該校初
一、初二、初三年級中各班隨機抽取10%的學生
5．如圖是一個三稜柱，下列圖形中，能通過摺疊圍成一個三稜柱的是
6．如圖，在平面直角座標系中，⊙p的圓心是（2，a）(a＞2)，半徑為2，函式y=x的圖象被⊙p的弦ab的長為 ，則a的值是
a． b． c． d．
二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分，不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）
7．－2的相反數是________．
8．如圖，過正五邊形abcde的頂點a作直線l∥cd，則∠1=____________．
9．計算 =_______________．
10．等腰梯形的腰長為5㎝，它的周長是22㎝，則它的中位線長為___________㎝．
11．如圖，以o為圓心，任意長為半徑畫弧，與射線om交於點a，再以a為圓心，ao長為半徑畫弧，兩弧交於點b，畫射線ob，則cos∠aob的值等於___________．
12．如圖，菱形abcd的連長是2㎝，e是ab中點，且de⊥ab，則菱形abcd的面積為_________㎝2．
13．如圖，海邊有兩座燈塔a、b，暗礁分佈在經過a、b兩點的弓形（弓形的弧是⊙o的一部分）區域內，∠aob=80°，為了避免觸礁，輪船p與a、b的張角∠apb的最大值為______°．
14．如圖，e、f分別是正方形abcd的邊bc、cd上的點，be=cf，連線ae、bf，將△abe繞正方形的中心按逆時針方向轉到△bcf，旋轉角為a（0°＜a＜180°），則∠a=______．
15．設函式 與 的圖象的交戰座標為（a，b），則 的值為__________．
16．甲、乙、丙、丁四位同學圍成一圈依序迴圈報數，規定：
①甲、乙、丙、丁首次報出的數依次為1、2、3、4，接著甲報5、乙報6……按此規律，後一位同學報出的數比前一位同學報出的數大1，當報到的數是50時，報數結束；
②若報出的數為3的倍數，則報該數的同學需拍手一次，在此過程中，甲同學需要拍手的次數為____________．
三、解答題（本大題共12小題，共88分，請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（6分）解不等式組 ，並寫出不等式組的整數解．
18．（6分）計算
19．（6分）解方程x2－4x＋1=0
20．（7分）某校部分男生分3組進行引體向上訓練，對訓練前後的成績進行統計分析，相應資料的統計圖如下．
⑴求訓練後第一組平均成績比訓練前增長的百分數；
⑵小明在分析了圖表後，聲稱他發現了一個錯誤：“訓練後第二組男生引體向上個數沒有變化的人數佔該組人數的50%，所以第二組的平均數不可能提高3個這麼多．”你同意小明的觀點嗎？請說明理由；
⑶你認為哪一組的訓練效果最好？請提出一個解釋來支援你的觀點．
21．（7分）如圖，將□abcd的邊dc延長到點e，使ce=dc，連線ae，交bc於點f．
⑴求證：△abf≌△ecf
⑵若∠afc=2∠d，連線ac、be．求證：四邊形abec是矩形．
22．（7分）小穎和小亮上山遊玩，小穎乘會纜車，小亮步行，兩人相約在山頂的纜車終點會合．已知小亮行走到纜車終點的路程是纜車到山頂的線路長的2倍，小穎在小亮出發後50 min才乘上纜車，纜車的平均速度為180 m/min．設小亮出發x min後行走的路程為y m．圖中的折線表示小亮在整個行走過程中y與x的函式關係．
⑴小亮行走的總路程是____________㎝，他途中休息了________min．
⑵①當50≤x≤80時，求y與x的函式關係式；
②當小穎到達纜車終點為時，小亮離纜車終點的路程是多少？
23．（7分）從3名男生和2名女生中隨機抽取2023年南京青奧會志願者．求下列事件的概率：
⑴抽取1名，恰好是女生；
⑵抽取2名，恰好是1名男生和1名女生．
24．（7分）已知函式y=mx2－6x＋1（m是常數）．
⑴求證：不論m為何值，該函式的圖象都經過y軸上的一個定點；
⑵若該函式的圖象與x軸只有一個交點，求m的值．
25．（7分）如圖，某數學課外活動小組測量電視塔ab的高度，他們藉助一個高度為30m的建築物cd進行測量，在點c處塔頂b的仰角為45°，在點e處測得b的仰角為37°（b、d、e三點在一條直線上）．求電視塔的高度h．
（參考資料：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
26．（8分）如圖，在rt△abc中，∠acb=90°，ac=6㎝，bc=8㎝，p為bc的中點．動點q從點p出發，沿射線pc方向以2㎝/s的速度運動，以p為圓心，pq長為半徑作圓．設點q運動的時間為t s．
⑴當t=1.2時，判斷直線ab與⊙p的位置關係，並說明理由；
⑵已知⊙o為△abc的外接圓，若⊙p與⊙o相切，求t的值．
27．（9分）如圖①，p為△abc內一點，連線pa、pb、pc，在△pab、△pbc和△pac中，如果存在一個三角形與△abc相似，那麼就稱p為△abc的自相似點．
⑴如圖②，已知rt△abc中，∠acb=90°，∠acb＞∠a，cd是ab上的中線，過點b作be⊥cd，垂足為e，試說明e是△abc的自相似點．
⑵在△abc中，∠a＜∠b＜∠c．
①如圖③，利用尺規作出△abc的自相似點p（寫出作法並保留作圖痕跡）；
②若△abc的內心p是該三角形的自相似點，求該三角形三個內角的度數．
28．（11分）
問題情境
已知矩形的面積為a（a為常數，a＞0），當該矩形的長為多少時，它的周長最小？最小值是多少？
數學模型
設該矩形的長為x，周長為y，則y與x的函式關係式為 ．
探索研究
⑴我們可以借鑑以前研究函式的經驗，先探索函式 的圖象性質．
① 填寫下表，畫出函式的圖象：
② x ……
1 2 3 4 ……
y …… ……
②觀察圖象，寫出該函式兩條不同型別的性質；
③在求二次函式y=ax2＋bx＋c（a≠0）的最大（小）值時，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．請你通過配方求函式 (x＞0)的最小值．
解決問題
⑵用上述方法解決“問題情境”中的問題，直接寫出答案．
答案：一.選擇題：accdbb
二.填空：
7. 2 8. 36 9.
10. 6 11. 12.
13. 40 14. 90 15.
16. 4
17. 解：
解不等式①得：
解不等式②得：
所以，不等式組的解集是 ．
不等式組的整數解是 ，0，1．
18.19. 解法一：移項，得 ．
配方，得 ，
由此可得
， 解法二：
，， ．
20.解：⑴訓練後第一組平均成績比訓練前增長的百分數是 ≈67%．
⑵不同意小明的觀點，因為第二組的平均成績增加8×10%+6×20%+5×20%+0×50%=3（個）．
（3）本題答案不唯一，我認為第一組訓練效果最好，因為訓練後第一組平均成績比訓練前增長的百分數最大．
21.證明：⑴∵四邊形abcd是平行四邊形，∴ab∥cd,ab=cd．∴∠abf=∠ecf.
∵ec=dc, ∴ab=ec．
在△abf和△ecf中，∵∠abf=∠ecf，∠afb=∠efc，ab=ec，
∴⊿abf≌⊿ecf．
（2）解法一：∵ab=ec ，ab∥ec，∴四邊形abec是平行四邊形．∴af=ef， bf=cf．
∵四邊形abcd是平行四邊形，∴∠abc=∠d，又∵∠afc=2∠d，∴∠afc=2∠abc．
∵∠afc=∠abf+∠baf，∴∠abf=∠baf．∴fa=fb．
∴fa=fe=fb=fc, ∴ae=bc．∴口abec是矩形．
解法二：∵ab=ec ，ab∥ec，∴四邊形abec是平行四邊形．
∵四邊形abcd是平行四邊形，∴ad∥bc，∴∠d=∠bce．
又∵∠afc=2∠d，∴∠afc=2∠bce，
∵∠afc=∠fce+∠fec，∴∠fce=∠fec．∴∠d=∠fec．∴ae=ad．
又∵ce=dc，∴ac⊥de．即∠ace=90°．∴口abec是矩形．
22. 解⑴3600，20．
⑵①當 時，設y與x的函式關係式為 ．
根據題意，當 時， ；當 ， ．
所以， 與 的函式關係式為 ．
②纜車到山頂的路線長為3600÷2=1800（ ），
纜車到達終點所需時間為1800÷180＝10（ ）．
小穎到達纜車終點時，小亮行走的時間為10＋50＝60（ ）．
把 代入 ，得y=55×60—800=2500．
所以，當小穎到達纜車終點時，小亮離纜車終點的路程是3600-2500=1100（ ）．
23. 解⑴抽取1名，恰好是女生的概率是 ．
⑵分別用男1、男2、男3、女1、女2表示這五位同學，從中任意抽取2名，所有可能出現的結果有：（男1，男2），（男1，男3），（男1，女1），（男1，女2），（男2，男3），（男2，女1），（男2，女2），（男3，女1），（男3，女2），（女1，女2），共10種，它們出現的可能性相同，所有結果中，滿足抽取2名，恰好是1名男生和1名女生（記為事件a）的結果共6種，所以p（a）= ．
24.解：⑴當x=0時， ．
所以不論 為何值，函式 的圖象經過 軸上的一個定點（0，1）．
⑵①當 時，函式 的圖象與 軸只有一個交點；
②當 時，若函式 的圖象與 軸只有一個交點，則方程 有兩個相等的實數根，所以 ， ．
綜上，若函式 的圖象與 軸只有一個交點，則 的值為0或9．
25.在 中， ＝ ．
∴ec＝ ≈ （ ）．
在 中，∠bca＝45°，∴
在 中， ＝ ．∴ ．∴ （ ）．
答：電視塔高度約為120 ．
26.解⑴直線 與⊙p相切．
如圖，過點p作pd⊥ab, 垂足為d．
在rt△abc中，∠acb＝90°，∵ac=6cm，bc=8cm，
∴ ．∵p為bc的中點，∴pb=4cm．
∵∠pdb＝∠acb＝90°，∠pbd＝∠abc．∴△pbd∽△abc．
∴ ,即 ，∴pd =2.4(cm) ．
當 時， (cm)
∴ ，即圓心 到直線 的距離等於⊙p的半徑．
∴直線 與⊙p相切．
⑵ ∠acb＝90°，∴ab為△abc的外切圓的直徑．∴ ．
連線op．∵p為bc的中點，∴ ．
∵點p在⊙o內部，∴⊙p與⊙o只能內切．
∴ 或 ，∴ =1或4．
∴⊙p與⊙o相切時，t的值為1或4．
27. 解⑴在rt △abc中，∠acb＝90°，cd是ab上的中線，∴ ，∴cd=bd．
∴∠bce＝∠abc．∵be⊥cd，∴∠bec＝90°，∴∠bec＝∠acb．∴△bce∽△abc．
∴e是△abc的自相似點．
⑵①作圖略．
作法如下：（i）在∠abc內，作∠cbd＝∠a；
（ii）在∠acb內，作∠bce＝∠abc；bd交ce於點p．
則p為△abc的自相似點．
②連線pb、pc．∵p為△abc的內心，∴ ， ．
∵p為△abc的自相似點，∴△bcp∽△abc．
∴∠pbc＝∠a，∠bcp＝∠abc=2∠pbc =2∠a，
∠acb＝2∠bcp=4∠a．∵∠a+∠abc+∠acb＝180°．
∴∠a+2∠a+4∠a＝180°．
∴ ．∴該三角形三個內角的度數分別為 、 、 ．
28. 解⑴① ， ， ，2， ， ， ．
函式 的圖象如圖．
②本題答案不唯一，下列解法供參考．
當 時， 隨 增大而減小；當 時, 隨 增大而增大；當 時函式 的最小值為2．
③ == =當 =0，即 時，函式 的最小值為2．
⑵當該矩形的長為 時，它的周長最小，最小值為 ．
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