求數列前n項和的方法有哪些?要例子

時間 2021-08-16 11:19:07

1樓:匿名使用者

公式法、累加法、累乘法、待定係數法、對數變換法、迭代法、數學歸納法、換元法、不動點法、特徵根的方法等等。

型別一歸納—猜想—證明

由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項,再由前幾項總結出規律,猜想出數列的一個通項公式,最後用數學歸納法證明.

型別二“逐差法”和“積商法”

(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時,取n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子:

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1),

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時,兩邊累加得通項an,此法稱為“逐差法”.

(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時,令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子,即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,an/an-1=f(n-1),且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時,兩邊連乘可求出an,此法稱為“積商法”.

型別三構造法

遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數),可用待定係數法構造一個新的等比數列求解.

型別四可轉化為型別三求通項

(1)“對數法”轉化為型別三.

遞推式為an+1=qan�k(q>0,k≠0且k≠1,a1>0),兩邊取常用對數,得lgan+1=klgan+lgq,令lgan=bn,則有bn+1=kbn+lgq,轉化為型別三.

(2)“倒數法”轉化為型別三.

遞推式為商的形式:an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0,pq≠0,pc≠qb).

若b=0,得an+1=pan/(qan+c).因為an≠0,所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p,轉化為型別三.

若b≠0,設an+1+x=y(an+x)/qan+c,與已知遞推式比較求得x、y,令bn=an+x,得bn+1=ybn/qan+c,轉化為b=0的情況.

型別五遞推式為an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈n)

可先將等式(n+k)an+1=qnan兩邊同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1),得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan,令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)�6�1nan,則bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1.

從而bn+1=qbn,因此數列{bn}是公比為q,首項為b1=k(k-1)(k-2)…2�6�11�6�1a1=k!a1的等比數列,進而可求得an.

總之,由數列的遞推公式求通項公式的問題比較複雜,不可能一一論及,但只要我們抓住遞推數列的遞推關係,分析結構特徵,善於合理變形,就能找到解決問題的有效途徑.

型別一�歸納—猜想—證明

由數列的遞推公式可寫出數列的前幾項,再由前幾項總結出規律,猜想出數列的一個通項公式,最後用數學歸納法證明.

�例1�設數列{an}是首項為1的正項數列,且(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…),則它的通項公式是an=______________.(2023年全國數學卷第15題)

解:將(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n=1,2,3,…)分解因式得(an+1+an)〔(n+1)an+1-nan〕=0.

��由於an>0,故(n+1)an+1=nan,即an+1=n/(n+1)an.

��因此a2=(1/2)a1=(1/2),a3=(2/3)a2=(1/3),….猜想an=(1/n),可由數學歸納法證明之,證明過程略.

型別二�“逐差法”和“積商法”

(1)當數列的遞推公式可以化為an+1-an=f(n)時,取n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子:

a2-a1=f(1),a3-a2=f(2),…,an-an-1=f(n-1),

且f(1)+f(2)+…+f(n-1)可求得時,兩邊累加得通項an,此法稱為“逐差法”.

例2�已知數列{an}滿足a1=1,an=3n-1+an-1(n≥2),證明:an=(3n-1)/2.

(2023年全國數學卷文科第19題)

證明:由已知得an-an-1=3n-1,故

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3��n-2�+…+3+1=3n-1/2.

所以得證.

(2)當數列的遞推公式可以化為an+1/an=f(n)時,令n=1,2,3,…,n-1,得n-1個式子,即

a2/a1=f(1),a3/a2=f(2),a4/a3=f(3),…,a��n�/an-1�=f(n-1)�,�且f(1)f(2)f(3)…f(n-1)可求得時,兩邊連乘可求出an,此法稱為“積商法”.

例3�(同例1)(2023年全國數學卷第15題)

另解:將(n+1)a2n+1-nan2+an+1an=0(n�=1,2,3,…)化簡,得(n+1)an+1=nan,即

an+1/an=n/(n+1).�

故an=an/an-1�6�1an-1/an-2�6�1an-2/an-3�6�1…�6�1a2/a1�=n-1/n�6�1n-2/n-1�6�1n-3/n-2�6�1 … �6�11/2�=1/n.

型別三�構造法

遞推式是pan=qan-1+f(n)(p、q是不為零的常數),可用待定係數法構造一個新的等比數列求解.

例4�(同例2)(2023年全國數學卷文科第19題)

另解:由an=3n-1+an-1得3�6�1an/3n=an-1/3n-1+1.

令bn=an/3n,則有

bn=1/3bn-1+1/3. (*)

設bn+x=1/3(bn-1+x),則bn=1/3bn-1+1/3x-x,與(*)式比較,得x=-1/2,所以bn-1/2=1/3(bn-1-1/2).因此數列{bn-1/2}是首項為b1-1=a1/3=-1/6,公比為1/3的等比數列,所以bn-1/2=-1/6�6�1(1/3)n-1,即an/3n-1/2=-1/6(1/3)n-1.故an=3n〔1/2-1/6(1/3)n-1〕=3n-1/2.

例5�數列{an}中,a1=1,an+1=4an+3n+1,求an.�

解:令an+1+(n+1)x+y=4(an+nx+y),則

an+1=4an+3nx+3y-x,與已知an+1=4an+3n+1比較,得

3x=3, 所以

x=1,

3y-x=1, y=(2/3).

故數列{an+n+(2/3)}是首項為a1+1+(2/3)=(8/3),公比為4的等比數列,因此an+n+(2/3)=(8/3)�6�14n-1,即

an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3).

另解:由已知可得當n≥2時,an=4an-1+3(n-1)+1,與已知關係式作差,有an+1-an=4(an-an-1)+3,即an+1-an+1=4(an-an-1+1),因此數列{an+1-an+1}是首項為a2-a1+1=8-1+1=8,公比為4的等比數列,然後可用“逐差法”求得其通項an=(8/3)�6�14n-1-n-(2/3).

型別四�可轉化為

型別三求通項

(1)“對數法”轉化為

型別三.

遞推式為an+1=qan�k(q>0,k≠0且k≠1,a1>0),兩邊取常用對數,得lgan+1=klgan+lgq,令lgan=bn,則有bn+1=kbn+lgq,轉化為

型別三.

例6�已知數列{an}中,a1=2,an+1=an2,求an.

解:由an+1=an2>0,兩邊取對數得lgan+1=2lgan.令bn=lgan則bn+1=2bn.因此數列{bn}是首項為b1=lga1=lg2,公比為2的等比數列,故bn=2n-1lg2=lg22n-1,即an=22n-1.

(2)“倒數法”轉化為

型別三.

遞推式為商的形式:an+1=(pan+b)/(qan+c)(an≠0,pq≠0,pc≠qb).

若b=0,得an+1=pan/(qan+c).因為an≠0,所以兩邊取倒數得1/an+1=q/p+c/pan,令bn=1/an,則bn+1=(c/p)bn+q/p,轉化為

型別三.

若b≠0,設an+1+x=y(an+x)/qan+c,與已知遞推式比較求得x、y,令bn=an+x,得bn+1=ybn/qan+c,轉化為b=0的情況.

例7�在數列{an}中,已知a1=2,an+1=(3an+1)/(an+3),求通項an.

解:設an+1+x=y(an+x)/an+3,則an+1=(y-x)an+(y-3)x/an+3,結合已知遞推式得

y-x=3, 所以

x=1,

y-3=1, y=4,

則有an+1+1=4(an+1)/an+3,令bn=an+1,則bn+1=4bn/bn+2,求倒數得1/bn+1=1/2�6�11/bn+1/4,即1/bn+1-1/2=1/2(1/bn-1/2).

因此數列{1/bn-1/2}是首項為1/b1-1/2=1/a1+1-1/2=-1/6,公比為1/2的等比數列.

故1/bn-1/2=(-1/6)(1/2)n-1,從而可求得an.

型別五�遞推式為an+1/an=qn/n+k(q≠0,k∈n)

可先將等式(n+k)an+1=qnan兩邊同乘以(n+k-1)(n+k-2)…(n+1),得(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1=q(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)nan,令bn=(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)�6�1nan,則bn+1=(n+k)(n+k-1)(n+k-2)…(n+1)an+1.

從而bn+1=qbn,因此數列{bn}是公比為q,首項為b1=k(k-1)(k-2)…2�6�11�6�1a1=k!a1的等比數列,進而可求得an.

例8�(同例1)(2023年全國數學卷第15題)

另解:將(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…),化簡得(n+1)an+1=nan,令nan=bn,則bn+1=bn,所以數列{bn}是常數列,由於首項b1=1�6�1a1=1,所以bn=1,即nan=1,故an=1/n.

總之,由數列的遞推公式求通項公式的問題比較複雜,不可能一一論及,但只要我們抓住遞推數列的遞推關係,分析結構特徵,善於合理變形,就能找到解決問題的有效途徑.

求數列1,1 2,1 2 2 2,1 2 2 2 2 3的前n項和Sn

設等比數列的通項公式an 2 n 1 則數列的前n項和為bn 2 n 1 b1 1 b2 1 2 b3 1 2 4 就是所求數列。則的前n項和為 sn 2 1 2 1 2 1 2 n 1 2 2 2 2 n n 2 2 n 1 n 2 n 1 n 2 這個題不難,主要運用分組求和與錯位相減法,解答如...

求數列前n項和6 1 3,6 3 5,6 2n 1 2n

數列前n項6 1 3,6 3 5,6 5 7 6 2n 1 2n 1 sn 6 1 3 6 3 5 6 5 7 6 2n 1 2n 1 3 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 2n 1 2n 1 3 1 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2n 1 1 2n 1 3 1 1 2n 1 6...

等差數列前n項和公式的推導有幾種方法

梁敏慧皇弘 1 a 1 a 2 a 1 n 1 4 7 3n 2 前者為等比數列,公比為a 1 後者為等差數列,公差為3 1 a n 1 a 1 3n 2 n 2 1 a n 1 a 3n 1 n 2 裂項法求和 這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項 通項 分解,然...