1樓：兔老大米奇
重要的等價無窮小替換當x→0時，
sinx～xtanx～xarcsinx～xarctanx～x1－cosx～（1／2）＊（x＾2）
（a＾x）－1～x＊lna（（a＾x－1）／x～lna）（e＾x）－1～xln（1＋x）～x（1＋bx）＾a－1～abx［（1＋x）＾1／n］－1～
（1／n）＊xloga（1＋x）～x／lna。
sin（x）～x，tan（x）～x，
中的x只要是除0之外的無窮小，
它可以是自變數，也可以是因變數。
例如當x→1時，sin（x－1）～x－1，tan（x－1）～x－1；
當x→∞時，sin（1／x）～1／x，tan（1／x）～1／x。
擴充套件資料
等價無窮小的使用條件；
求趨於某個數的函式極限，使用等價無窮小的部分趨於這個數的極限值為零；x趨於0，我們等價無窮小的部分是sinx。
那麼x趨於0的sinx的極限值為0，這樣我們就可以把sinx換成x；如果sinx的極限值（x趨於0）不為零，那麼就不能使用等價無窮小。
2樓：天命
這個很難的，可以考慮它的式，加上羅必塔法則來找
3樓：安西心
這個很難的，可以考慮它的式，加上洛必達法則來找
高等數學中所有等價無窮小的公式
4樓：夢色十年
1、e^x-1～x (x→0)
2、 e^(x^2)-1～x^2 (x→0)3、1-cosx～1/2x^2 (x→0)4、1-cos(x^2)～1/2x^4 (x→0)5、sinx~x (x→0)
6、tanx~x (x→0)
7、arcsinx~x (x→0)
8、arctanx~x (x→0)
9、1-cosx~1/2x^2 (x→0)10、a^x-1~xlna (x→0)
11、e^x-1~x (x→0)
12、ln(1+x)~x (x→0)
13、(1+bx)^a-1~abx (x→0)14、[(1+x)^1/n]-1~1/nx (x→0)15、loga(1+x)~x/lna(x→0)擴充套件資料等價無窮小替換是計算未定型極限的常用方法，它可以使求極限問題化繁為簡，化難為易。
求極限時，使用等價無窮小的條件：
1、被代換的量，在取極限的時候極限值為0；
2、被代換的量，作為被乘或者被除的元素時可以用等價無窮小代換，但是作為加減的元素時就不可以。
在同一點上，這兩個無窮小之比的極限為1，稱這兩個無窮小是等價的。等價無窮小也是同階無窮小。從另一方面來說，等價無窮小也可以看成是泰勒公式在零點到一階的泰勒公式。
5樓：匿名使用者
▄︻┻═┳一 根據arcsinx的泰勒公式，可以輕鬆得到為同階不等價無窮小。x→0，時x→sinx ;
x→arcsinx ; x→tanx ;x→arctanx; x→ln(1+x); x→(e^x-1);
[(1+x)^n-1]→nx;(1-cosx)→x*x/2;a^x-1→xlna, ln(1+x)→x;麥克勞林公式也是，
那個符號不好寫，你課本上或者習題裡有.例1 limx→0tanx-sinxx3
給你舉幾個利用無窮小的例子
例1 limx→0tanx-sinxx3
解：原式=limx→0sinx(1-cosx)x3cosx=limx→0x·12x2x3(∵ sinx～x,1-cosx～x22)=12
此題也可用羅比塔法則做，但不能用性質④做。
∵ tanx-sinxx3=x-xx3=0，不滿足性質④的條件，否則得出錯誤結論0。
例2 limx→0e2x-31+xx+sinx2
解：原式=limx→0e2x-1-(31+x-1)x+x2=limx→02x-13xx(1+x)=53
例3 limx→0(1x2-cot2x)
解法1：原式=limx→0sin2x-x2cos2xx2sin2x
=limx→0(sinx+xcosx)(sinx-xcosx)x4
=limx→0x2(1+cosx)(1-cosx)x4 (∵ sinx～x)
=limx→0(1+cosx)(1-cosx)x2
=limx→012x2·(1+cosx)x2=1
解法2：原式=limx→0tan2x-x2x2tan2x
=limx→0(tanx+x)(tanx-x)x4
=limx→02x(tanx-x)x44 (∵ tanx～x)
=limx→02(tanx-x)x3
=limx→02(sec2x-1)3x2
=23limx→0tan2xx2=23 (∵ tanx～x)
例4［3］ limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
解：原式=limx→0+sec2(sinx)cosx2tan(sinx)cos(tanx)sec2x2sin(tanx) （用羅比塔法則）
=limx→0+sec2(sinx)cosxcos(tanx)sec2x·limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （分離非零極限乘積因子）
=limx→0+sin(tanx)tan(sinx) （算出非零極限）
=limx→0+cos(sinx)sec2x2sin(tanx)sec2(sinx)cosx2tan(sinx) （用羅比塔法則）
=limx→0+cos(sinx)sec2xsec2(sinx)cosx·limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
=limx→0+tan(sinx)sin(tanx)
出現迴圈，此時用羅比塔法則求不出結果。怎麼辦？用等價無窮小代換。
∵ x～sinx～tanx(x→0)
∴ 原式=limx→0+xx=1而得解。
6樓：匿名使用者
當x→0，且x≠0，則
x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;
x~ln(1+x)~(e^x-1);
(1-cosx)~x*x/2;
[(1+x)^n-1]~nx;
loga(1+x)~x/lna;
a的x次方~xlna;
(1+x)的1/n次方~1/nx(n為正整數）；
注：^ 是乘方，~是等價於，這是我做題的時候總結出來的。
7樓：匿名使用者
利用等價無窮小來求極限是一種很方便的方法，同時等價無窮小的知識也是一元微分學的基礎知識之一。
為了用好等價無窮小，記住一些基本的等價無窮小公式是必要的。
當x→0，且x≠0，則
x--sinx--tanx--arcsinx--arctanx;
x--ln(1+x)--(e^x-1);
(1-cosx)--x*x/2;
[(1+x)^n-1]--nx;
注：^ 是乘方，-- 是等價於。
參考資料：《高等數學》
8樓：匿名使用者
（1） sinx～x（x→0） arcsinx～x（x→0）（2） tanx～x （x→0） arctanx～x （x→0）（3） ln(1+x)～x （x→0） e∧x —1～x （x→0）（4） （1+小）∧a -1 ～ax（x→0）(a≠0)1- cosx ～1／2x∧2 （x→0）
高等數學，關於函式的等價無窮小
9樓：匿名使用者
當 x→0 時，源sin~x 是無窮小代換， sinx - 1 極限是 -1， 不必代換。
當 x→0 時，e^x-1~x 是無窮小代換。
注意無窮小代換僅用於乘積，不用於和差。
用 e^x~1+x 代換實際上是 e^x = e^x -1 + 1, 其中 的 e^x-1用 x 代換，
這犯了無窮小代換用於和差的大忌，容易出錯。故不用e^x~1+x。
高等數學利用等價無窮小的性質求函式極限
10樓：老黃知識共享
利用平方差公式分子分母乘以它們的和得根號(x+根號x)/它們的和，可以看到分子分母的最高次限都是二分之一，是一樣的，而分子的最高次項係數是1，分母的最高次項係數是2，這樣答案就是1/2. 不是什麼等階無窮小替換哦。
11樓：匿名使用者
通過有理化化簡
**不懂可以追問
高等數學中函式極限定理，高等數學中函式極限定理3
只要保證0 a就可以任意取值 不是隨便的問題，這是高數裡面特殊值的問題，學數學，就要記住一些特殊值，這樣在解題中才能得心應手啊 應該說的是 隨意 只需要說明 存在性 具體大小無法確定。例如，存在x 2,可以取x 3，或者x 4，等等.高等數學 函式極限性質 定理3中 當a 0時,f x a a a ...
高等數學函式極限問題
1.原則上說是可以分開之後，再對每個分式使用無窮小的但是這需要你分開的兩個式子的極限相減有意義才行此處不然 其次看著你的等價無窮小有錯 tanx x sinx x 注意分母是 sinx 3 x 3 因為tanx sinx 3 x x 3 1 x 2極限是正無窮 sinx sinx 3 x x 3 1...
高等數學求極限問題，高等數學問題
答案為c。因為x 0時，lim sin6x xf x x 0 對左式反覆應用洛必達法則 lim sin6x xf x x lim 6cos6x f x xf x 3x lim 36sin6x f x f x xf x 6x lim 36sin6x 2f x xf x 6x lim 36sin6x 6...