單擺偏角在離開平衡位置不大於90度的情況下就是簡諧振動

時間 2021-08-11 18:13:40

1樓:匿名使用者

不對."物體的加速度總是跟隨位移的大小成正比"

這一條就對不上了,因為重力在切線方向的分量並與不位移的大小成正比.

2樓:

"在這個範圍內其恢復力與位移成正比"錯哦,要有偏角很小(小於5度)才成立.不知道你會推理麼?

3樓:匿名使用者

在一般教材是5度,也有的教材是10度,至於多少度要看要求的精確度是多少。

4樓:

首先由牛頓力學,單擺的運動可作如下描述:

單擺受到的重力矩為:

m = - m * g * l * sin x.

其中m為質量,g是重力加速度,l是擺長,x是擺角。

我們希望得到擺角x的關於時間的函式,來描述單擺運動。由力矩與角加速度的關係不難得到,

m = j * β.

其中j = m * l^2是單擺的轉動慣量,β = x''(擺角關於時間的2階導數)是角加速度。

於是化簡得到

x'' * l = - g * sin x.

我們對上式適當地選擇比例係數,就可以把常數l與g約去,再移項就得到化簡了的運動方程

x'' + sin x = 0.

因為單擺的運動方程(微分方程)是

x'' + sin x = 0…………(1)

而標準的簡諧振動(如彈簧振子)則是

x'' + x = 0………………(2)

我們知道(1)式是乙個非線性微分方程,而(2)式是乙個線性微分方程。所以嚴格地說上面的(1)式描述的單擺的運動並不是簡諧運動。

不過,在x比較小時,近似地有sin x ≈ x。(這裡取的是弧度制。即當x -> 0時有sin x / x = o(1)。

)因而此時(1)式就變為(2)式,單擺的非線性的運動被線性地近似為簡諧運動。

然後說一下為什麼是5°。由於sin x ≈ x這個近似公式只在角度比較小的時候成立(這乙個可以從正弦函式的在原點附近的圖象近似看出),所以只有在小角度下(1)式化作(2)式才是合理的。

事實上5°≈0.087266弧度,sin 5°≈0.087155,二者相差只有千分之一點幾,是十分接近的。

在低精度的實驗中,這種系統誤差可以忽略不計(因為實驗操作中的偶然誤差就比它大)。但如果換成25°,誤差高達百分之三,就不宜再看成是簡諧振動了。

由於正弦函式的性質,這個近似是角度越小,越精確,角度越大越不精確。如果角度很大(比如60度處,誤差高達17%),就完全不能說它是簡諧振動了。

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