已知二元函式f x y,xy x y,求f x,y 設x y u,xy v來求,請附詳細步驟,謝謝

時間 2021-08-30 09:34:42

1樓:匿名使用者

f(x+y,xy)=x²+y²=(x+y)² - 2xy

至於為什麼 f(x+y,xy) = x^2+y^2 不是=(x+y)^2+(xy)^2

那是在 f(x+y,xy) 將x+y,xy代入其解析式之後的結果= x^2+y^2

在 f(x+y,xy) 中的兩個自變數是x+y和xy,f(x,y)中的自變數才是x和y。

簡單一點就是說:f(x+y,xy) 和f(x,y)的規則是一樣的,都是f,只不過各自的自變數不同而已,至於用什麼形式來表示自變數,各有各法。

設x+y=u,xy=v,則

f(x+y,xy)=x²+y²=(x+y)² - 2xy =f(u,v)=u²-2v

此時我們可以看到 f(x,y) 與f(u,v)規則一樣,都是f ,自變數的表達形式也一樣(因為既然是自變數,函式的表示式的自變數可以用任何字母來表示,這並沒有差別)。

因此f(u,v)=u²-2v中的u、v可以分別用x、y來代替

f(x,y)=x²-2y

舉個例子來看

f(x+y,xy)= x²+y² 中,假如取x=2,y=3,那麼f(2+3,2×3)=f(5,6)=2²+3² =13

也就是說 f(5,6)一定等於13,此時5和6就是自變數的一個值。也可以從這裡看出,f(x+y,xy)的自變數是x+y和xy。

那麼 對於 f(x,y)=x²-2y ,x取值為5,y取值為6,則 f (5,6)=x²-2y =5²-2×6=13

從這個例子來看,不管是 f(x+y,xy),還是 f(x,y)亦或是f(u,v),只要自變數值取一樣,經過計算之後,函式值也是一樣。不要被自變數那些字母給迷惑。

但是,在同一道題裡面,f(x,y)和g(x,y)的 f 和 g 就有區別,代表不同的規則。

2樓:趨光深海魚

f(x+y,xy)=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy將x+y=u,xy=v帶入上式:

f(u,v)=u^2-2v

即f(x,y)=x^2-2y

求微分u=arctan(xy/z^2) (2)設f(x+y,xy)=xy/x^2+y^2,求f(x,y) (3)證明極限不存在lim(x,y)趨於(0,0)xy/x+y 15

3樓:中國51總群主

^第一道題並不是難,而是計算比較麻煩,第二道題稍微難些

1.解:

由(x²+xy)dx-y²dy=0 化為 dy/dx=(x/y)²+x/y (1)

設y/x=u y=ux 則dy/dx=u+xdu/dx

代入(1)整理得到 u²du/(1+u-u^3)=dx/x

右邊容易積分,左邊就比較麻煩

需要一元三次方程的求根公式和一些高等代數的知識,我假設你已經瞭解

對於u²/(1+u-u^3)

先分解分母並乘以-1

對於u^3-u-1,根據試根法,容易發現其沒有有理根

只能用根的公式直接求了。

根據一元三次方程的求根公式u1,u2,u3

知道 設s=三次根號下[(9+√69)/18] t=三次根號下[(9-√69)/18]

u1=s+t

u2=sω+tω²

u3=sω²+tω

其中ω=-1/2+√3i/2 其中i是純虛數,i²=-1

這樣u^3-u-1=(u-u1)(u-u2)(u-u3)

容易知道(u-u2)(u-u3)=u²+(s+t)u+s²-st+t²

這樣的表達比較麻煩,我不妨將上式設為

(u-u2)(u-u3)=u²+bu+c 該式子在有理數域上顯然是無法分解的,故不可約

u1=a

這樣u²/(1+u-u^3)=u²/(u-a)(u²+bu+c)

設u²/(u-a)(u²+bu+c)=p/(u-a)-(mu+n)/(u²+bu+c) p,m,n為未知參量

對於上式右邊合併整理後對比可以得到

p=-(ab+c)/(a²+ab+c) m=a²/(a²+ab+c) n=-ac/(a²+bc+c)

這樣p,m,n就為已知量了

下面就是認真仔細的積分的問題了

∫[p/(u-a)]du=pln|u-a|+k1

∫[(mu+n)/(u²+bu+c)]du=(m/2)∫[(2u+b)/(u²+bu+c)]du-[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]∫d[1/√(c-b²/4)](u+b/2)

=(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)+k2

其中k1,k2為常數

這樣 u²du/(1+u-u^3)=dx/x兩邊同時積分得到方程的通解

pln|u-a|+(m/2)ln|u²+bu+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](u+b/2)

=ln|x|+k

其中p,m,n,a,b,c為已知量,k為常數

由於u=y/x

則最後通解為

pln|y/x-a|+(m/2)ln|y²/x²+by/x+c|+[(bm/2-n)/√(c-b²/4)]arctan[1/√(c-b²/4)](y/x+b/2)

=ln|x|+k

其中p,m,n,a,b,c為已知量,k為常數

我補充說明一下,p,m,n,a,b,c根據前面所設所求都可以順次求出具體的數值,由於非常麻煩,我都略去,希望你能自己求出結果,我只是說出這個題目的大概思路。

2.解:

已知函式f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy) 在點(0,0)

累次極限

由於無論是x→0還是y→0的時候 f(x,y)的累次極限顯然都不存在

重極限可以使用如下技巧,假設,f(x,y)延y=kx (k為常數)趨向於(0,0)時

f(x,y)=(e^x-e^y)/sin(xy)=(e^x-e^kx)/sin(kx²)

顯然,當x→0時,limf(x,kx)不存在

所以f(x,y)的重極限也不存在

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