1樓：
什麼叫作矩陣
矩陣乘法是線性代數中最常見的運算之一，它在數值計算中有廣泛的應用。若a和b是2個nn的矩陣，則它們的乘積c=ab同樣是一個nn的矩陣。a和b的乘積矩陣c中的元素c[i,j]定義為:
若依此定義來計算a和b的乘積矩陣c，則每計算c的一個元素c[i,j]，需要做n個乘法和n-1次加法。因此，求出矩陣c的n2個元素所需的計算時間為0(n3)。
60年代末，strassen採用了類似於在大整數乘法中用過的分治技術，將計算2個n階矩陣乘積所需的計算時間改進到o(nlog7)=o(n2.18)。
首先，我們還是需要假設n是2的冪。將矩陣a，b和c中每一矩陣都分塊成為4個大小相等的子矩陣，每個子矩陣都是n/2n/2的方陣。由此可將方程c=ab重寫為:
(1)由此可得:
c11=a11b11 a12b21(2)
c12=a11b12 a12b22(3)
c21=a21b11 a22b21(4)
c22=a21b12 a22b22(5)
如果n=2，則2個2階方陣的乘積可以直接用(2)-(3)式計算出來，共需8次乘法和4次加法。當子矩陣的階大於2時，為求2個子矩陣的積，可以繼續將子矩陣分塊，直到子矩陣的階降為2。這樣，就產生了一個分治降階的遞迴演算法。
依此演算法，計算2個n階方陣的乘積轉化為計算8個n/2階方陣的乘積和4個n/2階方陣的加法。2個n/2n/2矩陣的加法顯然可以在c*n2/4時間內完成，這裡c是一個常數。因此，上述分治法的計算時間耗費t(n)應該滿足：
這個遞迴方程的解仍然是t(n)=o(n3)。因此，該方法並不比用原始定義直接計算更有效。究其原因，乃是由於式(2)-(5)並沒有減少矩陣的乘法次數。
而矩陣乘法耗費的時間要比矩陣加減法耗費的時間多得多。要想改進矩陣乘法的計算時間複雜性，必須減少子矩陣乘法運算的次數。按照上述分治法的思想可以看出，要想減少乘法運算次數，關鍵在於計算2個2階方陣的乘積時，能否用少於8次的乘法運算。
strassen提出了一種新的演算法來計算2個2階方陣的乘積。他的演算法只用了7次乘法運算，但增加了加、減法的運算次數。這7次乘法是:
m1=a11(b12-b22)
m2=(a11 a12)b22
m3=(a21 a22)b11
m4=a22(b21-b11)
m5=(a11 a22)(b11 b22)
m6=(a12-a22)(b21 b22)
m7=(a11-a21)(b11 b12)
做了這7次乘法後，再做若干次加、減法就可以得到:
c11=m5 m4-m2 m6
c12=m1 m2
c21=m3 m4
c22=m5 m1-m3-m7
以上計算的正確性很容易驗證。例如:
c22=m5 m1-m3-m7
=(a11 a22)(b11 b22) a11(b12-b22)-(a21 a22)b11-(a11-a21)(b11 b12)
=a11b11 a11b22 a22b11 a22b22 a11b12
-a11b22-a21b11-a22b11-a11b11-a11b12 a21b11 a21b12
=a21b12 a22b22
由(2)式便知其正確性。
至此，我們可以得到完整的strassen演算法如下：
procedurestrassen(n,a,b,c);beginifn=2thenmatrix-multiply(a，b，c)elsebegin將矩陣a和b依(1)式分塊;strassen(n/2,a11,b12-b22,m1);strassen(n/2,a11 a12,b22,m2);strassen(n/2,a21 a22,b11,m3);strassen(n/2,a22,b21-b11,m4);strassen(n/2,a11 a22,b11 b22,m5);strassen(n/2,a12-a22,b21 b22,m6);strassen(n/2,a11-a21,b11 b12,m7);
;end;
end;
其中matrix-multiply(a，b，c)是按通常的矩陣乘法計算c=ab的子演算法。
strassen矩陣乘積分治演算法中，用了7次對於n/2階矩陣乘積的遞迴呼叫和18次n/2階矩陣的加減運算。由此可知，該演算法的所需的計算時間t(n)滿足如下的遞迴方程:
按照解遞迴方程的套用公式法，其解為t(n)=o(nlog7)≈o(n2.81)。由此可見，strassen矩陣乘法的計算時間複雜性比普通矩陣乘法有階的改進。
有人曾列舉了計算2個2階矩陣乘法的36種不同方法。但所有的方法都要做7次乘法。除非能找到一種計算2階方陣乘積的演算法，使乘法的計算次數少於7次，按上述思路才有可能進一步改進矩陣乘積的計算時間的上界。
但是hopcroft和kerr(197l)已經證明，計算2個22矩陣的乘積，7次乘法是必要的。因此，要想進一步改進矩陣乘法的時間複雜性，就不能再寄希望於計算22矩陣的乘法次數的減少。或許應當研究33或55矩陣的更好演算法。
在strassen之後又有許多演算法改進了矩陣乘法的計算時間複雜性。目前最好的計算時間上界是o(n2.367)。
而目前所知道的矩陣乘法的最好下界仍是它的平凡下界ω(n2)。因此到目前為止還無法確切知道矩陣乘法的時間複雜性。關於這一研究課題還有許多工作可做。
2樓：匿名使用者
四個角為直角的四邊形
3樓：
kunv5201314說的是矩形啊！哈哈！
什麼是矩陣？
4樓：士谷蘭夏邁
矩陣矩陣就是由方程組的係數及常數所構成的
方陣。把用在解線性方程組內上既方便，又直觀。容例如對於方程組。
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
來說，我們可以構成兩個矩陣：
a1b1c1a1b1c1d1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因為這些數字是有規則地排列在一起，形狀像矩形，所以數學家們稱之為矩陣，通過矩陣的變化，就可以得出方程組的解來。
矩陣這一具體概念是由19世紀英國數學家凱利首先提出並形成矩陣代數這一系統理論的。
數學上，一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形陣列。矩陣由陣列成，或更一般的，由某環中元素組成。
矩陣常見於線性代數、線性規劃、統計分析，以及組合數學等。請參考矩陣理論。
其實以我學習數學的經驗呀
這些概念什麼的
你真的不用瞭解這麼清楚
大學裡的數學
說實話你只要知道考試時那題做的步驟
至於為什麼做
不用那麼斤斤計較
因為你要計較
你也不明白
。。。。
呵呵我學的時候就是死記它的方法
考試考得也還不錯
。。。。
希望對你有幫助
5樓：籍好潔彤山
矩陣就是一組數，矩就是矩形的意思，類似於站隊，只不過站隊的是數字而已，這些數字按照每行多少個數，每列多少個數排成一個矩形，像這樣排列的一組數就是矩陣。
6樓：溫馨夜沙龍
矩陣（matrix）本意是子宮、控制中心的母體、孕育生命的地方。在數學上，矩陣是指專縱橫排列屬
7樓：
是大學線性代數中的一種數學模式
8樓：張尊皓
即長方形，內角和360度，四個內角都是90度的四邊形。
“矩陣”是什麼意思？
9樓：鄭浩勤
矩陣【拼bai音】：jǔ zhèn
【釋義du】：
在數學中，矩陣（
zhimatrix）是一個按照長dao
方陣列排列
回的複數或實數集合，最答早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。
、矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。 在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的演算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。
無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函式的泰勒級數的導數運算元的矩陣。[
10樓：代任岑安安
由方程組的係數及常數所構成的
方陣。把用在解
線性方程組
上既方便，又直觀。例如對於方程組:
a1x+b1y+c1z=d1
a2x+b2y+c2z=d2
a3x+b3y+c3z=d3
來說，我們可以構成兩個矩陣：
a1b1c1a1b1c1d1
a2b2c2a2b2c2d2
a3b3c3a3b3c3d3
因為這些
數字是有規則地排列
在一起，形狀像矩形，所以數學家們稱之為矩陣，通過矩陣的變化，就可以得出方程組的解來。
矩陣這一
具體概念
是由19世紀英國
數學家凱利首先提出並形成矩陣代數這一
系統理論
的。但是追根溯源，矩陣最早出現在我國的＜九章算術＞中，在＜九章算術＞方程一章中，就提出瞭解線性方程各項的係數、常數按順序排列成一個長方形的形狀。隨後移動處籌，就可以求出這個方程的解。
在歐洲，運用這種方法來解線性方程組，比我國要晚2000多年。
數學上，一個m×n矩陣乃一m行n列的矩形
陣列。矩陣由陣列成，或更一般的，由某環中
元素組成。
矩陣常見於線性代數、線性規劃、統計分析，以及
組合數學
等。請參考矩陣理論。
歷史矩陣的研究歷史悠久，
拉丁方陣和幻方
在史前年代已有人研究。
作為解決線性方程的工具，矩陣也有不短的歷史。2023年，微積分的發現者之一
戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨
建立了行列式
論(theory
ofdeterminants)。2023年，
加布里爾·克拉默
其後又定下了克拉默法則。2023年代，高斯和威廉·
若爾當建立了高斯—若爾當消去法。
2023年
詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特
首先創出matrix
一詞。研究過矩陣論的著名數學家有凱萊、
威廉·盧雲·哈密頓
、格拉斯曼、
弗羅貝尼烏斯
和馮·諾伊曼
。定義和相關
符號以下是一個4×
3矩陣：
某矩陣a的第i
行第j列，或i,j位，通常記為
a[i,j]
或ai,j。在上述例子中
a[2,3]=7。
在c語言中，亦以
a[i][j]
表達。(值得注意的是,與一般矩陣的
演算法不同,在c中,"行"和"列"都是從0開始算起的)此外a
=(aij)，意為
a[i,j]
=aij
對於所有i及
j，常見於數學著作中。
一般環上構作的矩陣
給出一環
r，m(m,n,
r)是所有由
r中元素排成的m×n
矩陣的集合。若
m=n，則通常記以
m(n,r)。這些矩陣可加可乘
(請看下面)，故
m(n,r)
本身是一個環，而此環與左r模
rn的自同態環同構。若r
可置換，
則m(n,
r)為一帶單位元的
r-代數。其上可以萊布尼茨公式定義
行列式：一個矩陣可逆當且僅當其行列式在
r內可逆。
在維基百科內，除特別指出，一個矩陣多是實數矩陣或虛數矩陣。
分塊矩陣
分塊矩陣
是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣”。舉例，以下的矩陣可分割成4個
2×2的矩陣。
此法可用於簡化運算，簡化數學證明，以及一些電腦應用如vlsi
晶片設計
等。對稱矩陣
對稱矩陣是相對其主對角線（由左上至右下）對稱,
即是ai,j=aj,i。
埃爾米特矩陣（或自共軛矩陣）是相對其主對角線以複共軛方式對稱,
即是ai,j=a*j,i。
特普利茨矩陣在任意對角線上所有元素相對,
是ai,j=ai+1,j+1。
隨機矩陣所有列都是概率向量,
用於馬爾可夫鏈。
矩陣運算
給出m×n矩陣a
和b，可定義它們的和a+
b為一m×n矩陣，等
i,j項為(a+
b)[i,j]=
a[i,j]+
b[i,
j]。舉例：
另類加法可見於矩陣加法.
若給出一矩陣
a及一數字
c，可定義標量積
ca，其中
(ca)[i,j]=
ca[i,
j]。例如
這兩種運算令
m(m,
n,r)
成為一實數
線性空間
，維數是mn.
若一矩陣的列數與另一矩陣的行數相等，則可定義這兩個矩陣的乘積。如a是
m×n矩陣和b是
n×p矩陣，它們是乘積
ab是一個
m×p矩陣，其中
(ab)[i,j]=
a[i,1]*
b[1,j]+
a[i,2]*
b[2,j]+
...+
a[i,n]*
b[n,
j]對所有i及
j。例如
此乘法有如下性質：
(ab)c
=a(bc)
對所有k×m
矩陣a,
m×n矩陣b及
n×p矩陣
c("結合律").(a+
b)c=ac+
bc對所有
m×n矩陣a及
b和n×k矩陣
c("分配律")。
c(a+b)=
ca+cb對所有
m×n矩陣a及
b和k×m矩陣
c("分配律")。
要注意的是：可置換性不一定成立，即有矩陣a及
b使得ab≠
ba。對其他特殊乘法，見
矩陣乘法
。線性變換，秩，轉置
矩陣是線性變換的便利表達法，皆因矩陣乘法與及線性變換的合成有以下的連繫：以rn
表示n×1
矩陣（即長度為n的向量）。對每個線性變換f:
rn->
rm都存在唯一
m×n矩陣a使得
f(x)=ax
對所有x
∈rn。
這矩陣a
"代表了"
線性變換
f。今另有
k×m矩陣
b代表線性變換g:
rm->
rk，則矩陣積
ba代表了線性變換go
f。矩陣
a代表的線性代數的
映像的維數稱為
a的矩陣秩。矩陣秩亦是
a的行（或列）生成空間的維數。
m×n矩陣
a的轉置是由行列交換角式生成的
n×m矩陣
atr（亦紀作at或
ta），即
atr[i,j]=
a[j,
i]對所有
iand
j。若a
代表某一線性變換則
atr表示其
對偶運算元
。轉置有以下特性：(a+
b)tr
=atr
+btr，(ab)tr
=btratr。
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