1樓：乘恕狄橋
內心是三條角平分線的交點，它到三邊的距離相等。
外心是三條邊垂直平分線的交點，它到三個頂點的距離相等。
重心是三條中線的交點，它到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍。
垂心是三條高的交點，它能構成很多直角三角形相似。
旁心是乙個內角平分線與其不相鄰的兩個外角平分線的交點，它到三邊的距離相等。
2樓：龐秀花禹子
1、重心 三角形三條中線的交點叫做三角形重心。
2、外心
三角形三邊的垂直平分線的交點，稱為三角形外心。
3、內心 三角形內心為三角形三條內角平分線的交點。
與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心即是三角形內心，內心到三角形三邊距離相等。這個三角形叫做圓的外切三角形。
4、垂心 三角形三邊上的三條高線交於一點，稱為三角形垂心。
銳角三角形的垂心在三角形內；直角三角形的垂心在直角的頂點；鈍角三角形的垂心在三角形外.。
三角形只有乙個垂心
5、旁心 與三角形的一邊及其他兩邊的延長線都相切的圓叫做三角形的旁切圓，旁切圓的圓心叫做三角形旁心。
三角形的一條內角平分線與其他兩個角的外角平分線交於一點，即三角形的旁心。旁心到三角形一邊及其他兩邊延長線的距離相等。
三角形有三個旁切圓，三個旁心。這三個旁心到三角形三條邊的延長線的距離相等。
五心的性質
三角形的五心有許多重要性質，它們之間也有很密切的聯絡，如：
（1）三角形的重心與三頂點的連線所構成的三個三角形面積相等；
（2）三角形的外心到三頂點的距離相等；
（3）三角形的垂心與三頂點這四點中，任一點是其餘三點所構成的三角形的垂心；
（4）三角形的內心、旁心到三邊距離相等；
（5）三角形的垂心是它垂足三角形的內心；或者說，三角形的內心是它旁心三角形的垂心；
（6）三角形的外心是它的中點三角形的垂心；
（7）三角形的重心也是它的中點三角形的重心；
（8）三角形的中點三角形的外心也是其垂足三角形的外心．
（9）三角形的任一頂點到垂心的距離，等於外心到對邊的距離的二倍.
三角形的五心分別是什麼？
3樓：匿名使用者
三角形的重心,外心,垂心,內心和旁心稱之為三角形的五心．.三角形五心定律指是三角形重心定律，外心定律，垂心定律，內心定律，旁心定律的總稱，
（一），三角重心重心定律：三角形的三條邊的中線交於一點，該點叫作三角形的重心．三線交一可用燕尾定理證明，十分簡單。
重心的性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其重心座標為[(x1+x2+x3)/3],[y1+y2+y3/3)]。
（二），三角形外心定律：三角形的三條邊的垂直平分線交於一點。該點叫做三角形的外心。
即三角形為切圓的圓心．注意到外心到三角形的三個頂點距離相等，結合垂直平分線定義，外心定理其實極好證。
計算外心的重心座標應先計算下列臨時變數：d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
（三），三角形垂心定律：三角形的三條高交於一點，該點叫做三角形的垂心。
垂心的性質：
1.三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2.垂心外心內心三心共線。
3.垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。
４此點分每條高線的兩部分乘積
定律證明
已知：δabc中，ad、be是兩條高，ad、be交於點連線co並延長交ab於點f 求證：cf⊥ab
證明：連線de ∵∠adb=∠aeb=90度 ∴a、b、d、e四點共圓 ∴∠ade=∠abe
∵∠eao=∠dac ∠aeo=∠adc ∴δaeo∽δadc
∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
又∵∠abe+∠bac=90度 ∴∠acf+∠bac=90度 ∴cf⊥ab
因此，垂心定理成立！
（四），三角形的內心定律：三角形的三條內角平分線交於一點，該點叫做三角形的內心．即三角形內切圓的圓心。注意到內心到三邊距離相等（為內切圓半徑），內心定理其實極易證。
若三邊分別為l1，l2，l3，周長為p，則內心的重心座標為(l1/p,l2/p,l3/p)。
直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
雙曲線上任一支上一點與兩焦點組成的三角形的內心在實軸的射影為對應支的頂點。
（五），三角形旁心定律：三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點。三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心叫做旁心
性質每個三角形都有三個旁心。
它到三邊的距離相等。
如圖，點m就是△abc的乙個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。乙個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心,這時重心,內心.外心,垂心,四心合一.
三角形五心歌（重外垂內旁）
三角形有五顆心；重外垂內和旁心， 五心性質很重要，認真掌握莫記混．
重 心三條中線定相交，交點位置真奇巧， 交點命名為「重心」，重心性質要明了，
重心分割中線段，數段之比聽分曉； 長短之比二比一，靈活運用掌握好．
外 心三角形有六元素，三個內角有三邊． 作三邊的中垂線，三線相交共一點．
此點定義為外心，用它可作外接圓． 內心外心莫記混，內切外接是關鍵．
垂 心三角形上作三高，三高必於垂心交． 高線分割三角形，出現直角三對整，
直角三角形有十二，構成六對相似形， 四點共圓圖中有，細心分析可找清.
內 心三角對應三頂點，角角都有平分線， 三線相交定共點，叫做「內心」有根源；
點至三邊均等距，可作三角形內切圓， 此圓圓心稱「內心」如此定義理當然．
4樓：匿名使用者
三角形「五心歌」
三角形有五顆心；重、垂、內、外和旁心，
五心性質很重要，認真掌握莫記混．
重 心三條中線定相交，交點位置真奇巧，
交點命名為「重心」，重心性質要明了，
重心分割中線段，數段之比聽分曉；
長短之比二比一，靈活運用掌握好．
垂 心三角形上作三高，三高必於垂心交．
高線分割三角形，出現直角三對整，
直角三角形有十二，構成六對相似形，
四點共圓圖中有，細心分析可找清.
內 心三角對應三頂點，角角都有平分線，
三線相交定共點，叫做「內心」有根源；
點至三邊均等距，可作三角形內切圓，
此圓圓心稱「內心」如此定義理當然．
外 心三角形有六元素，三個內角有三邊．
作三邊的中垂線，三線相交共一點．
此點定義為「外心」，用它可作外接圓．
「內心」「外心」莫記混，「內切」「外接」是關鍵．按照這個自行畫畫圖,對照上面別人的解釋體會一下.
重心是中線交點，內心是角平分線交點(或內切圓的圓心)，外心是中垂線交點(或外接圓的圓心)，垂心是高線交點,這稱三角形的四心.
還有乙個心叫傍心:外角平分線的交點(有3個),(或傍切圓的圓心)只有正三角形才有中心,這時重心,內心.外心,垂心,四心合一
5樓：匿名使用者
內心：三條角平分線的交點，也是三角形內切圓的圓心。
性質：到三邊距離相等。
外心：三條中垂線的交點，也是三角形外接圓的圓心。
性質：到三個頂點距離相等。
重心：三條中線的交點。
性質：三條中線的三等分點，到頂點距離為到對邊中點距離的2倍。
垂心：三條高所在直線的交點。
性質：此點分每條高線的兩部分乘積
旁心：三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點性質：到三邊的距離相等。
6樓：匿名使用者
三角形的五心是指:內心：3個角內角平分線交點外心：3條邊的中垂線交點
重心：3條中線交點
垂心：從3個頂點向3邊作出的垂線的交點
旁心：2條外角平分線和一條內角平分線交點
這五個特殊巧合點是初等幾何中研究三角形最重要的內容之一，它們的高維推廣也十分重要。
7樓：乙熹羿懿
內心，三條內角平分線的交點旁心，外角平分線的交點（有三個）
外心，三邊垂直平分線的交點垂心，三條高線的交點重心，三條中線的交點
三角形的五心及其性質是什麼…？
8樓：大觀園侍者
三角形五心定理
三角形的重心，外心，垂心，內心和旁心稱之為三角形的五心。三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內心定理，旁心定理的總稱。
編輯本段
一、三角形重心定理
三角形的三條邊的中線交於一點。該點叫做三角形的重心。三中線交於一點可用燕尾定理證明，十分簡單。
（重心原是乙個物理概念，對於等厚度的質量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點，重心因而得名）
重心的性質：
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2∶1。
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長成反比。
3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。
4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均數，即其重心座標為（(x1+x2+x3)/3，（y1+y2+y3)/3。
編輯本段
二、三角形外心定理
三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。
外心的性質：
1、三角形的三條邊的垂直平分線交於一點，該點即為該三角形外心。
2、若o是△abc的外心，則∠boc=2∠a（∠a為銳角或直角）或∠boc=360°-2∠a（∠a為鈍角）。
3、當三角形為銳角三角形時，外心在三角形內部；當三角形為鈍角三角形時，外心在三角形外部；當三角形為直角三角形時，外心在斜邊上，與斜邊的中點重合。
4、計算外心的座標應先計算下列臨時變數：d1，d2，d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
重心座標：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。
5、外心到三頂點的距離相等
編輯本段
三、三角形垂心定理
三角形的三條高（所在直線）交於一點，該點叫做三角形的垂心。
垂心的性質：
1、三角形三個頂點，三個垂足，垂心這7個點可以得到6個四點圓。
2、三角形外心o、重心g和垂心h三點共線，且og∶gh=1∶2。（此直線稱為三角形的尤拉線（euler line））
3、垂心到三角形一頂點距離為此三角形外心到此頂點對邊距離的2倍。
4、垂心分每條高線的兩部分乘積相等。
定理證明
已知：δabc中，ad、be是兩條高，ad、be交於點o，連線co並延長交ab於點f ，求證：cf⊥ab
證明：連線de ∵∠adb=∠aeb=90度 ∴a、b、d、e四點共圓 ∴∠ade=∠abe
∵∠eao=∠dac ∠aeo=∠adc ∴δaeo∽δadc
∴ae/ao=ad/ac ∴δead∽δoac ∴∠acf=∠ade=∠abe
又∵∠abe+∠bac=90度 ∴∠acf+∠bac=90度 ∴cf⊥ab
因此，垂心定理成立！
編輯本段
四、三角形內心定理
三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。
內心的性質：
1、三角形的三條內角平分線交於一點。該點即為三角形的內心。
2、直角三角形的內心到邊的距離等於兩直角邊的和減去斜邊的差的二分之一。
3、p為δabc所在平面上任意一點，點i是δabc內心的充要條件是：向量pi=(a×向量pa+b×向量pb+c×向量pc)/(a+b+c).
4、o為三角形的內心，a、b、c分別為三角形的三個頂點，延長ao交bc邊於n，則有ao:on=ab:bn=ac:cn=(ab+ac):bc
編輯本段
五、三角形旁心定理
三角形的旁切圓（與三角形的一邊和其他兩邊的延長線相切的圓）的圓心，叫做三角形的旁心。
旁心的性質：
1、三角形一內角平分線和另外兩頂點處的外角平分線交於一點，該點即為三角形的旁心。
2、每個三角形都有三個旁心。
3、旁心到三邊的距離相等。
如圖，點m就是△abc的乙個旁心。三角形任意兩角的外角平分線和第三個角的內角平分線的交點。乙個三角形有三個旁心，而且一定在三角形外。
附：三角形的中心：只有正三角形才有中心，這時重心，內心，外心，垂心，四心合一。
正三角形是什麼三角形，什麼是正三角形
等邊三角形 又稱正三角形 為三邊相等的三角形，其三個內角相等，均為60 它是銳角三角形的一種。一 學習目標 1.經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作 歸納獲得數學結論的過程.2.能敘述三角形全等的條件，了解三角形的穩定性.3.能靈活地運用三角形全等的條件，進行有條理的思考和簡單的推理，並能利用...
三角形的周長和三角形的面積有什麼聯絡
沒什麼聯絡，你自己可以擺擺三角形 但是相似的三角形，周長大的面積大，就這點關係而已 餘弦定理cosc a 2 b 2 c 2 2ab s 1 2 ab sinc 1 2 ab 1 cos 2 c 1 2 ab 1 a 2 b 2 c 2 2 4a 2 b 2 1 4 4a 2 b 2 a 2 b 2...
三角形中線，三角形中線有什麼性質 如何判定
1.三角形中線定義 鏈結三角形乙個頂點和對邊中點的線段 2.三角形中線能將三角形分成面積相等的兩部分 3.三角形的三條中線必交於一點，該交點為三角形重心 4.重心定理 三角形重心到乙個頂點的距離等於它到對邊中點距離的2倍 5.三角形三條中線能將三角形分成面積相等的六部分 6.解決三角形中線問題，常作...