收斂數列與有界數列,如何理解收斂的數列一定有界,而有界的

時間 2021-09-02 08:34:19

1樓:畫堂晨起

1、數列收斂與存在極限的關係:數列收斂則存在極限,這兩個說法是等價的;

2、數列收斂與有界性的關係:數列收斂則數列必然有界,但是反過來不一定成立!

如果數列{xn}收斂,那麼該數列必定有界。推論:無界數列必定發散;數列有界,不一定收斂;數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件,但不是充分條件。

相互關係收斂數列與其子數列間的關係。

子數列也是收斂數列且極限為a恆有|xn|若已知一個子數列發散,或有兩個子數列收斂於不同的極限值,可斷定原數列是發散的。

2樓:清溪看世界

收斂數列,設數列,如果存在常數a(只有一個),對於任意給定的正數q(無論多小),總存在正整數n,使得n>n時,恆有|xn-a|有界數列,是數學領域的定理,是指任一項的絕對值都小於等於某一正數的數列。有界數列是指數列中的每一項均不超過一個固定的區間,其中分上界和下界。

3樓:昌瓊董惜寒

收斂一定有界,有界當然不一定收斂。

單調有界序列收斂在實數列時是成立的,因為這需要利用實數的連續性。

一般的度量空間中不成立,比如有理數列就不成立。

4樓:匿名使用者

還是收斂數列!有界函式的界是m,則收斂數列的極限是m*a。

5樓:憶瑾凌月

首先要搞清楚有界和收斂的概念

數列收斂是說它的極限是a,即無限趨近於a。數列有界是說它的值域控制在一個確定的範圍內。反例:

當有界數列 為搖擺數列時,如0,1,0,1,0,1,0,1…………時相乘後的數列就不在只趨近一個值了,所以不再存在極限,所以也不再是收斂數列

6樓:匿名使用者

不是 例如油界數列取1 -1 1 -1 1 -1...

如何理解收斂的數列一定有界,而有界的

7樓:demon陌

收斂的數列,在n→∞時,xn→a,這個a是一個固定的極限值,是一個常數,所以必然有界。但這個有界不是說上下界都有,只有上界、或只有下界、或上下界都有均可以叫有界。

有界的數列不一定收斂,最簡單的例子xn=sin(n),或者xn=(-1)^n,它們都是有界數列,但n→∞時,xn的極限不存在,所以不收斂。

8樓:匿名使用者

因為數列是:“定義域為正整數的函式”,自變數只能取1.2.

3.4...這樣的正整數,一直到無窮遠處的正整數,所以可能出現極限的地方只能是無窮遠處,因為最小的自變數取值為1不存在無窮小

所以當無窮遠處有極限了(收斂)則整個函式有界(因為從1到無窮遠處每個值都確定,一定會有最大值和最小值)

順便一提,必須同時有上下界才叫做有界,也就是說整個函式同時存在最大值和最小值。

9樓:匿名使用者

既有上界又有下界不是才叫有界嗎?

如何證明收斂數列必定為有界數列?

10樓:假面

設數列收斂

bai於a,由定義知存在du正整數m,zhi使得當n>m時|a[n]-a|<1,或

dao者說a-1即有界。回

如果數列收斂,那麼答該數列必定有界。推論:無界數列必定發散;數列有界,不一定收斂;數列發散不一定無界。

數列有界是數列收斂的必要條件,但不是充分條件。

11樓:匿名使用者

設數列收斂於a,由定義知存在正整數m,

使得當n>m時|a[n]-a|<1,或者說a-1於是min<=a[n]<=max,

即有界.

一個數列,若既有上界又

版有權下界,則稱之為有界數列。顯然數列有界的一個等價定義是:存在正實數x,使得數列的所有項都滿足|xn|≤x,n=1,2,3,……。

1、有界數列的應用:

數列有極限的必要條件:

數列單調增且有上界 或 數列單調減且有下界=>數列有極限。

2、函式的有界性:

函式的有界性定義:若存在兩個常數m和m,使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界,其中m是它的下界,m是它的上界。

12樓:匿名使用者

數列收斂,根據收斂數列的定義,如果存在常數a,對於任意給定的ε>專0,為了方便屬理解,取ε=1,總存在正整數n,使得當n>n時,不等式

|xn-a|<1

成立,於是,重點來了!當n>n時,

|xn|=|(xn-a)+a|≤|xn-a|+|a|<1+|a|(當n>n時,|xn|<1+|a|,這不就是有界的定義嗎?但注意是n>n時有界,那麼n≤n時,有界嗎?別急,馬上證明)

前面已經證明n>n有界,即是|xn+1|,|xn+2|,...組成的數列是有界的,取小於等於n的數列|x1|,|x2|,...,|xn|,加上大於n時證明有界的數1+|a|,取它們之中的最大值,即是m=max,m是不是比任何數都要大?

因為|xn|<1+|a|,那麼m至少大於等於1+|a|,於是數列中的一切xn都滿足不等式:|xn|<m(等號愛加不加,沒影響).

13樓:匿名使用者

|設數bai列收斂於a,由定du義知存在正整數m,使得當n>m時|zhi

daoa[n]-a|<1,或者說a-1於是min<=a[n]<=max,即有界.

我具體專證明不會,

屬但可以用一個特殊情況來驗證這個功利的正確性,

因為找不到反例推翻這個結論,找不到一個收斂數列不是有解數列的例子,

所有收斂數列分為又結合誤解,

找不到無解的收斂數列,那麼剩餘的收斂數列都是有解的,

無界的收斂數列是不存在的,排除掉,2個排除掉一個,那麼只剩下1個,有解和誤解排除掉無解,是有解

eg:an=10+1/n(n:n*)

limn趨向於無窮an=10,無限接近於10,是收斂數列,但是取不到10,因為n>=1>0,n>0,1/n>0an>10,>10區域10,則是》10,

n>=1,nmin=1,amax=10+1=11

(10,11]

值域為(10,11]是有界數列

或者an=3,是常數列,

liman=lim3=3

是收斂數列,

常數列的值域為

是有解得,

所以符合這個公里。

14樓:

收斂數列的極限等於函式極限,函式極限有區域性有界性定理,證畢

15樓:茹翊神諭者

設limxn=a,

詳情如圖所示,有任何疑惑,歡迎追問

利用單調有界收斂準則,證明 數列X

證明 一 由x1 1 2,x n 1 xn 1 2.可得x1 1 2,x2 5 8.x1 x2.又2x n 1 xn 1 2xn.x n 1 xn.是遞增數列。二 易知,0 x1 x2 1.假設0 xn 1,0 xn 1.1 xn 1 2.1 2 xn 1 2 1.x n 1 1.數列有上界1。存在...

收斂數列一定有界的問題

皖中明 對,收斂數列一定有界,但不一定上下界都有。有界是存在極限的必要條件,但有界不一定就有極限。 收斂必有界,反之則不然。 如果你取乙個數列an 1 n,它顯然收斂,而且最大值在n 1的地方。可以補充這麼乙個看起來很怪異,但是細細一想又很顯然的引理 對於給定的數列,假若任給乙個實數p,總存在乙個正...

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假面 求數列的極限,如果數列項數n趨於無窮時,數列的極限能一直趨近於實數a,那麼這個數列就是收斂的 如果找不到實數a,這個數列就是發散的。看n趨向無窮大時,xn是否趨向一個常數,可是有時xn比較複雜,並不好觀察。加減的時候,把高階的無窮小直接捨去如 1 1 n,用1來代替乘除的時候,用比較簡單的等價...