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柯西—施瓦茨不等式
開放分類： 數學、不等式
柯西—施瓦茨不等式
數學上，柯西—施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式或柯西—布尼亞科夫斯基—施瓦茨不等式，是一條很多場合都用得上的不等式，例如線性代數的向量，數學分析的無窮級數和乘積的積分，和概率論的方差和協方差。不等式以奧古斯丁·路易·柯西(augustin louis cauchy)，赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨(hermann amandus schwarz)，和維克托·雅科夫列維奇·布尼亞科夫斯基(виктор яковлевич буняковский)命名。
柯西—施瓦茨不等式說，若x和y是實或復內積空間的元素，那麼
\big| \langle x,y\rangle \big|^2 \leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle。
等式成立當且僅當x和y是線性相關。
柯西—施瓦茨不等式的乙個重要結果，是內積為連續函式。
柯西—施瓦茨不等式有另一形式，可以用範的寫法表示：
|\langle x,y\rangle| \leq \|x\| \cdot \|y\|\, 。
證明實內積空間的情形：
注意到y = 0時不等式顯然成立，所以可假設\langle y,y\rangle非零。對任意\lambda \in \mathbb ，可知
0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle
= \langle x-\lambda y,x \rangle - \lambda \langle x-\lambda y,y \rangle
= (\langle x,x\rangle - \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \langle y,y \rangle)
= (\|x\|^2- \lambda \langle x,y \rangle)- \lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \|y\|^2)。
現在取值\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^，代入後得到
0 \leq \|x\| ^2 - \langle x,y \rangle^2 \cdot \|y\|^。
因此有\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\| 。
復內積空間的情形
證明類上。對任意\lambda \in \mathbb ，可知
0 \leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y \rangle
= \langle x-\lambda y,x \rangle - \overline\lambda \langle x-\lambda y,y \rangle
= (\|x\|^2 - \lambda \overline) - \overline\lambda (\langle x,y \rangle - \lambda \|y \|^2)。
現在取值\lambda = \langle x,y \rangle \cdot \|y\|^，代入後得到
0 \leq \|x\|^2 - \big| \langle x,y \rangle \big|^2 \cdot \|y\|^，
因此有\big| \langle x,y \rangle \big| \leq \|x\| \|y\| 。
特例對歐幾里得空間rn，有
\left(\sum_^n x_i y_i\right)^2\leq \left(\sum_^n x_i^2\right) \left(\sum_^n y_i^2\right)。
對平方可積的復值函式，有
\left|\int f^*(x)g(x)\,dx\right|^2\leq\int \left|f(x)\right|^2\,dx \cdot \int\left|g(x)\right|^2\,dx。
這兩例可更一般化為赫爾德不等式。
在3維空間，有乙個較強結果值得注意：原不等式可以增強至等式
\langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle = |\langle x,y\rangle|^2 + |x \times y|^2。
[編輯]參見
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