1樓：小兔子的文集
數學是研究客觀事物的空間形式與數量關係的科學。它不受任何時間和空間的限制，強烈地顯現這一本質屬性。然而，在古代各個時期不同的文化傳統中，數學的表現形式往往也不盡相同，各自呈現出自己的特徵。
比如中國古典數學在表現形式、思維模式、與社會實際的關係、研究的中心以及發展的歷程等許多方面與其他文化傳統，特別是古希臘數學有較大的區別。
首先是其表現形式，這裡主要指數學經典的著作形式。古希臘數學常常採取抽象的公理化的形式，而中國古典數學則是以術文統率例題的形式。兩種不同的形式，代表著迥然不同的兩種風格。
這兩種形式和風格同樣可以闡發數學理論的基礎。有人往往忽略了這一點，把中國古代數學著作籠統地概括成應用問題集的形式。只要仔細分析、比較一下數學著作本身，就不難發現這個結論是極不正確的。
比如最重要的著作《九章算術》，它的九章中，方田、粟米、少廣、商功、盈不足、方程六章的全部及衰分、均輸、勾股三章的部分，要麼先列出一個或幾個例題，然後給出十分抽象的“術”；要麼先列出十分抽象的“術”，然後給出若干例題。這裡的“術”都是些公式或抽象的計算程式；前者的例題只有題目及答案，後者的例題則包括題目、答案與“術”。所謂“術”就是闡述各種演算法及具體應用，類似於後世的細草。
《九章算術》中只有約五分之一的部分，即衰分、均輸、勾股三章的約50個題目，可以說是應用問題集的形式。由此就得出《九章算術》是一部應用問題集的結論是不恰當的，正確的提法應是術文統率例題的形式。後來的《孫子算經》等的主體應該說是應用問題集的形式，但把一些預備知識放到了卷首。
宋元數學高潮中的著作，賈憲《黃帝九章算經細草》的抽象性更高於《九章算術》，其它著作由於演算法更為複雜，演算法的抽象性有時達不到《九章》的程度，但是也作了可貴的努力，如《數書九章》的“大衍總數術”及其核心“大衍求一術”就是同餘式解法的總術；“正負開方術”用抽象的文字闡述了開四次方的方法後，又宣告“後篇效此”，說明也是普遍方法。朱世傑的兩部著作都把大量預備知識、演算法放在卷首，《四元玉鑑》的卷首還載有天元術、二元術、三元術、四元術的解法範例。《測圓海鏡》更是把“圓城圖式”及後面要用到的定義、命題列入卷一的“識別雜記”。
因此，總的說來，演算法(術)是解應用題的關鍵，“術”自然就成為中國古代數學的核心。中國數學著作是以演算法為核心，演算法統率例題的形式。中國傳統文化
其次是關於數學理論的研究。古希臘數學使用演繹推理，使數學知識形成了嚴謹的公理化體系。許多學者誇大了中國古算與古希臘數學的差別，認為中國古代數學成就只是經驗的積累，沒有推理，尤其是沒有演繹推理。
這是對中國古代數學缺乏起碼瞭解的膚淺之見。遺憾的是，這種膚淺之見被某些科學泰斗所贊同而頗為流行，甚至成為論述現代科學沒有在中國產生的出發點。誠然，中國古代數學與哲學結合得不像古希臘那麼緊密，中國古代數學大家也不像古希臘數學大師那樣大多是思想界的頭面人物或思想流派的首領。
一般說來，中國思想家對數學的興趣遠遜於古希臘的同仁，先秦諸子中即使數學修養最高的墨家，其數學成就也難望古希臘思想家的項背。同樣，中國數學家，就整體而言，對數學理論研究的關注，也遠不如古希臘數學家。比如，《九章算術》和許多數學著作對數學概念沒有定義，許多數學問題的表述，並不嚴謹。
這就要求讀者必須站在作者的立場上，與作者共處於一個和諧的體系中，才能理解其內容，這或多或少也阻礙了數學理論的發展。硬說中國古代與古希臘同樣重視數學理論研究，固然是不妥的。反之，說中國古代數學沒有理論，沒有推理，也是不符史實的。
《周髀算經》記載，先秦數學家陳子在教誨榮方時，指出他之所以對某些數學原理不能理解，在於他“之於數未能通類”，他認為數學的“道術”，“言約而用博”，必須做到“能類以合類”。陳子大約處於《九章算術》編纂過程的初期。實際上，《九章》的編纂正是貫穿了“通類”、“類以合類”的思想。
《九章算術》的作者把能用同一種數學方法解決的問題歸於一類，提出共同的、抽象的“術”，如方田術、圓田術、今有術、衰分術、返衰術、少廣術、開方術、盈不足術、均輸術、方程術、勾股術等等，又將這些術及例題按其性質或應用分成方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九類。劉徽進一步挖掘《九章》許多方法的內在聯絡，又將衰分術、均輸術、方程新術等歸結到今有術。劉徽正是通過“事類相推”，找出了各種方法的歸宿，發現數學知識是“枝條雖分而同本幹”，並“發自一端”的一株大樹，形成了自己完整的數學理論體系。
賈憲總結開方法，創造開方作法本源。楊輝總結出勾股生變十三名圖，李冶**了各種容圓關係，給出600多條公式，也都是通過歸納、類比做到通類，進而“類以合類”，進行數學的理論概括。
通過“合類”，歸納出抽象的公式之後，將這些公式應用於解某些數學問題，實際上是從一般到特殊的演繹過程，這裡要特別談一下中國古代數學中有沒有演繹推理的問題。大家知道，數學知識的獲得，要通過類比、歸納、演繹各種推理途徑，而證明一個數學命題的正確性，則必須依靠演繹推理。中國古代數學著作正是大量使用演繹推理。
以中國古代最為發達的高次方程這一分支為例，劉徽、王孝通都提出了方程的推導過程，金元數學家更創造了設未知數列方程的天元術，李冶將用天元術列方程所需要的定理、公式大都在卷一的“識別雜記”中給出。劉徽、王孝通、秦九韶、李冶、朱世傑等推導高次方程的過程都是依靠演繹推理的，因而是正確的。至於劉徽用極限思想和無窮小分割對圓面積公式的證明，對錐體體積公式的證明；用出入相補原理對解勾股形諸公式的證明，對大量面積、體積公式的證明，對開方術的證明；利用齊同原理對方程術、盈不足術及許多演算法的證明，都是演繹推理的典範。
只要不帶偏見，都會認識到劉徽在拓展數學知識時以歸納、類比為主，而在論證《九章算術》的公式、演算法的正確性時，在批駁《九章算術》的某些錯誤時，則以演繹推理為主，從而把他自己掌握的數學知識建立在可靠的理論基礎之上。
說數學研究與思想界結合得不密切，是就整體而言的，並不是說每個數學家都如此，比如劉徽就例外。他深受魏晉辯難之風的影響，他對《九章算術》“析理以辭，解體用圖”，“析理”正是辯難之風的要件，劉徽析理的原則、析理的方法都是與當時辯難之風合拍的。當然，即使是劉徽對許多數學概念的**還沒達到古希臘那麼深入的地步。
比如，劉徽將無窮小分割引入數學證明是前無古人的貢獻，卻從未考慮過潛無窮小與實無窮小的區別。不過，這未必是壞事。古希臘數學家無法圓滿解決潛無限與實無限的問題，不得不把無窮小概念排除在數學研究之外，因此，他們在證明數學命題時，從未使用過極限思想和無窮小分割。
劉徽則不然，他認為圓內接正多邊形邊數無限增多，最後必定“與圓周合體”，因此可以對與圓周合體的正多邊形進行無窮小分割並求其面積之和；他認為對陽馬與鱉臑組成的塹堵進行無窮分割，可以達到“微則無形”的地步；劉徽在極限思想的運用上遠遠超過了古希臘的同類思想，達到了文藝復興前世界數學界的最高峰。古希臘數學家認為正方形的對角線與其邊長沒有公度，即與1沒有公度，導致數學史上的第一次危機，使古希臘數學轉向，把計算排除在數學之外，只注重空間形式的研究，因而在無理數面前束手無策。而劉徽、祖沖之等則不然，他們對“開之不盡”的“不可開”的數，敢於繼續開方，“求其微數”，以十進分數無限逼近無理根的近似值。
沒有陷入哲學的爭論，從數學計算的實際出發，使中國數學家能夠繞過曾導致希臘數學改變航向或裹足不前的暗礁，在數學理論和實踐上達到古希臘數學家所不曾達到的高度。
長於計算，以演算法為中心，是中國古代數學的顯著特點。古希臘數學只考慮數和形的性質，而不考慮具體數值。比如，他們很早就懂得，任何一個圓的周長與直徑之比是個常數，但這個常數的數值，幾百年無人問津，直到阿基米德才求出其值的範圍。
相反，中國古典數學幾乎不研究離開數量關係的圖形的性質，而通過切實可行的方法把實際問題化為一類數學模型，然後用一套程式化即機械化的演算法求解。算經中的“術”全是計算公式與計算程式，或應用這些公式、程式的細草，所有的問題都要算出具體數值作為答案，即使幾何問題，也要算出有關因素的長度、面積、體積。這就是幾何方法與演算法相結合，或幾何問題的演算法化。
劉徽說：“以法相傳，亦猶規矩、度量可得而共”(《九章算術注·序》)，清楚地表達了中國古算形、數結合的特點。《九章算術》的開方術、方程術、盈不足術、衰分術、均輸術，劉徽計算圓周率的割圓術、計算弧田面積近似值的方法，賈憲求賈憲三角各廉的增乘方法，賈憲開創而秦九韶使之完備的求高次方程正根的正負開方術，秦九韶的同餘式解法，朱世傑的四元術，等等，都有相當複雜的計算程式。
數**算的程式化使複雜的計算問題易於掌握，即使不懂其數學原理，也可掌握其程式，於是產生了程式的輔助用表“立成”。上述這些程式都具有完全確定性、對一整類問題適用性及有效性等現代演算法的三個特點。許多程式幾乎可以一字不差地搬到現代電子計算機上實現。
先進的記數制度，強烈的位置值制是促成中國演算法理論充分發展的重要因素。中國最早發明了十進位置值制記數法，這種記數法十分有利於加減乘除四則運算及分數、小數的表示。加之漢語中數字都是單音節，便於編成口訣，促成籌算乘除捷演算法向口訣的轉化。
而籌算的使用使分離係數表示法成為順理成章。線性方程組的分離係數表示法、開方式的記法、天元多項式、四元式的記法，實際上也是一種位置值制。未知數的冪次完全由其在表示式中的位置決定，而不必寫出未知數本身，如開方式中，自上而下依次是“商”、“實”(常數項)、“方”(一次項)、“一廉”、“二廉”(二、三次項係數)……隅(最高次項係數)。
天元式也是如此，只是因為運算中有正冪也有負冪，才需要在常數項旁標一“太”字，或在一次項旁標一“元”字，未知數冪次完全由與“太”或“元”的相對位置決定。這種表示法特別便於開方或加減乘除運算，尤其是用天元的冪次乘(或除)，只要上下移動“太”或“元”字的位置即可。
數學理論密切聯絡實際，是中國古代數學的又一顯著特徵。不能把古算經的所有題目都看成日常生產生活的應用題，有些題目只是為了說明演算法的例題，《九章算術》和《測圓海鏡》中都有此類題目。但是，中國古算確實是以應用為目的的，這是與古希臘數學的顯著區別之一。
後者公開申明不以實際應用為目的，而是看成純理念的精神活動，歐幾里得幾乎抹去了《幾何原本》的實際**的所有蛛絲馬跡。而中國數學家卻從不諱言研究數學的功利主義目的。自《漢書·律曆志》到劉徽、秦九韶，都把數學的作用概括為“通神明”、“類萬物”兩個方面。
這裡神明的意義既可作神祕主義來理解，也可以看作說明物質世界的變化性質的範疇，或二者兼而有之。《九章算術》劉徽為其注沒有任何神祕主義的成份，對通神明的作用也沒作任何闡發，劉徽倒是明確指出了《九章算術》各章在實際生產生活中的應用範圍：方田以御田疇界域，粟米以御交質變易，衰分以御貴賤稟稅，少廣以御積冪方圓，商功以御功程積實，均輸以御遠近勞費，盈不足以御隱雜互見，方程以御錯糅正負，勾股以御高深廣遠，顯然是“類萬物”方面。
秦九韶把“通神明”看作數學作用之大者，並且其理解是神祕主義與世界變化的性質二者兼而有之的，而把類萬物、經世務看成數學作用之小者。儘管他表示要將數學“進之於道”，但他的數學研究實踐使他感到對於大者仍“膚末於見”，而注重於小者，認識到“數術之傳，以實為體”，因此“設為問答以擬於用”。他的《數書九章》除第一問外，大都是實際生活、生產及各種工程的應用題，反映南宋經濟活動之翔實遠勝於《九章算術》等著作對當時現實經濟活動的反映。
總之，中國數學密切聯絡實際，並在實際應用中得到發展。也許正因為有這個長處，中國數學從《九章算術》到宋元高潮，基本上堅持了唯物主義傳統，未受到數字神祕主義的影響。明朝著作有一些神祕主義的東西，具有穿靴戴帽的性質，但仍不能改變以實際應用為目的這一總的特徵。
統治者對數學的態度造成了中國與希臘數學不同的發展特點。古希臘統治者非常重視數學，造成希臘數學有很強的連續性、繼承性。而中國古代的統治者，除個別者外，大都不重視數學。
秦始皇統一中國，較為重視數學的墨家遭到鎮壓，漢朝以後獨尊儒術，儒法合流，讀經學禮，崇尚文史，成為一種社會風氣。由於數學對國計民生的重大作用，統治階級又不得不承認“算術亦六藝要事”(《顏氏家訓·雜藝》)，但卻主張“可以兼明，不可以專業”(同上)。數學一直被視為“九九賤技”。
劉徽哀嘆“當今好之者寡”，(《九章算術注·序》)秦九韶說“後世學者鄙之不講”，(《數書九章序》)李冶以大儒研究數學，自謂“其憫我者當百數，其笑我者當千數”。(《測圓海鏡序》)劉徽所處之魏晉，秦、李所處之宋元，都是中國數學興盛時期，尚且如此，何論其他！二十四史，林林總總，列入無數帝王將相，以及文學家、思想家，甚至烈女節婦，卻沒有為一個數學家立傳，祖沖之、李冶有傳，卻是以文學家、名臣的身份入傳的。
社會的需要，以及世代數學家不計憫笑，刻苦鑽研，自漢迄元，使中國數學登上了世界數壇的一個又一個高峰，然而中國數學的發展常常大起大落，艱難地前進。更使人覺得奇怪的是，高潮往往出現在戰亂時期，如戰國時期《九章算術》主要成就的奠基，魏晉南北朝數學理論的建立，宋遼金元籌算數學的高潮；相反，低谷往往出現在大一統的太平盛世，如唐、明兩代，不僅數學建樹甚少，甚至到了大數學家看不懂前代成果的可笑地步！這當然絲毫不意味著戰亂、**比安定、統一更有利於數學的發展，而是因為戰亂時期，儒家思想的統治地位往往受到衝擊，社會思潮較為活躍，思想比較解放。
同時由於戰亂，讀經入仕的道路被堵，知識分子稍稍能按自己的興趣和社會的需求發揮自己的才智，所蘊藏的數學才能也得到較充分展示，致使處於夾縫中的數學研究狀況反而比大一統的太平盛世更好一些罷了。
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