1樓：中地數媒
在地球物理資料的資料處理中，研究各種訊號譜的形態，都是從連續函式開始，而實際資料的處理又必須從離散訊號入手，因為實測的異常並非是連續函式，而是間斷地分布在各個觀測點上。由於實際資料並不是連續的，測區的範圍也不可能是無限的，因此在資料處理中實際採用的是有限離散傅利葉變換。然而由於「有限」和「離散」的影響，實際資料的頻譜具有一些需要引起重視的特點。
1.抽樣定理與資料離散化
用於進行資料處理的實測重磁資料都是離散的，它實際上是對連續訊號的離散化。那麼離散訊號能否反映連續訊號就是乙個重要的問題。
對於實測的重磁資料，測區是有限的，場值常常用離散形式來表示（圖10-11)所示。設δt異常在（0＜x＜lx，0＜y＜ly）矩形網格範圍內，x方向取樣間隔為δx，取樣點數為m，lx＝mδx為x方向的基本波長；y方向取樣間隔為δy，取樣點數為n，ly＝nδy為y方向的基本波長，則
分別為x方向和y方向的基頻。其頻率
圖10-11 離散取樣示意圖
由傅利葉分析知道，任何乙個連續訊號都可以表示為無限多個諧波（正弦波）的疊加。根據正弦波抽樣定理，若抽樣間隔為δ，則當正弦波的頻率
時，離散訊號可以唯一的確定正弦波。當
時則不能。因此如果連續訊號t（x）的頻譜為st（f），以抽樣間隔為δ抽樣得到的離散訊號為t（mδ)，那麼如果st（f）有截止頻率fc，即當|f|≥fc時，st（f）＝0；當
時，則由t（mδ）可以完全確定頻譜st（f），且t（mδ）可以確定t（x）。這就是抽樣定理。
如果把離散訊號t（mδ）確定的頻譜st（f），可以看到它是乙個週期為
的週期函式，並且存在乙個截止頻率
，這一頻率也稱為尼奎斯特頻率。當連續訊號的頻譜有大於尼奎斯特頻率的高頻成分時，離散後，這些高頻成分就要加到低於尼奎斯特頻率的範圍
上去。稱這種高頻成分為假頻。這種不同頻率成分混迭的現象稱為假頻現象（或混迭現象）。
在抽樣中如果發生假頻現象，則抽樣後所得的離散訊號就不能反映原始訊號的性質，也就失去了由抽樣進行資料處理的目的。因此在對實測重磁異常離散化時，去假頻是十分重要的。這就要求取樣間隔至少要小於最小有效異常的二分之一。
2.有限資料窗與測區範圍
用有限的測區範圍來代替無限的積分區間，實際上相當於加了乙個有限長的資料窗。如果窗無限長，即窗函式w（x）＝1，它的頻譜（波譜）是δ函式，因此
勘探重力學與地磁學
這說明所得的頻譜與真實的譜是相同的。
如果窗函式w（x）為一矩形窗，即
勘探重力學與地磁學
它的頻譜為
，則勘探重力學與地磁學
積分表示了對譜st（f）的一種光滑作用，從而影響其分辨力。上式說明，對離散資料用有限的矩形窗函式截斷，然後進行傅利葉變換時，得不到真實的譜函式。當剖面從無限長截成有限區間時對譜所產生的影響稱為皺波效應。
將無限區間變成有限區間時，必須考慮有限資料窗的型別和寬度。
圖10-12給出了矩形窗和漢寧窗的頻譜。可以看出，矩形窗主瓣的寬度小，這意味著光滑作用小。但其旁瓣幅度太大，皺波效應明顯。
而漢寧窗與之相反，對窗的要求是其頻譜主瓣寬度小，旁瓣幅度小。但這二者不能兼得。一般有限資料窗多採用漢寧窗，即將空間域的離散取值乘以漢寧窗函式：
圖10-12 矩形窗和漢寧窗的頻譜
實線為漢寧窗頻譜；虛線為矩形窗頻譜
勘探重力學與地磁學
式中：2l為離散取值的區間，也稱為截斷區間。漢寧窗的頻譜函式為
勘探重力學與地磁學
其中：勘探重力學與地磁學
測區邊緣採用漢寧函式使場值逐漸衰減為零。具有相同作用的窗函式還有其他不同形式，而漢寧窗比較簡單。
對有限離散傅利葉變換而言，若窗的寬度為l，則基頻（基本波數）為
，諧波為
，…。若l增加一倍，則基本波數為
，諧波為
可見後者比前者有兩倍的分辨力，而且會增加頻譜的穩定性。因此窗的寬度必須與要研究的頻譜的最小細節相當。在實踐中，要求測區範圍（或剖面長度）至少應達到最深目標體埋深的4～5倍。
3.吉布斯效應
吉布斯效應是經傅利葉變換後存在的一種擺動現象。產生吉布斯效應的原因是空間域函式中存在著第一類間斷點，以及空間域和頻率域有限截斷可能形成的邊部不對稱的情況。空間域函式區域內的第一類間斷點的產生，是由於在進行離散取樣時遇到重磁異常梯度變化較大的地段所引起的。
而有限截斷形成的邊部不對稱情況則發生在研究區域的邊部。從理論上可以計算出擺動幅度的大小（這裡略）。
為了避免和減少吉布斯效應的影響，應儘量減少間斷點。對於空間域函式區域內離散取樣遇到重磁異常梯度變化較大地段的情況，可採用適當增大取樣點密度，減小取樣點距的方法來改善。對於有限截斷形成的邊部不對稱情況，可在取樣過程中在測區的邊部予以適當的擴充，使其邊部值趨於零或相等。
4.觀測資料頻譜的週期性和共軛性
由於實測資料的離散化而帶來的週期性是實測資料頻譜的乙個重要特性。圖10-13是頻譜週期性的示意圖。圖中實線框是原始頻譜範圍。在此範圍之外，頻譜呈週期性開拓，如虛線框所示。
圖10-13 實測資料頻譜的週期性
圖中o1，o2，o3等價於o。在頻譜圖中分ⅰ，ⅱ，ⅲ，ⅳ四個象限，對第一象限來說，在x方向圓頻率u的最高值為
，在y方向圓頻率v的最高值為
。這是以δx和δy為取樣間隔的離散資料的最高頻率。在其他象限，頻率的起算點不再是o。
由於週期性，在第ⅱ象限的頻率值以o1為原點進行計算，在第ⅱ象限u＜0，v＞0。同理，在第ⅲ象限，以o2為原點，u＜0，v＜0。在第ⅳ象限，以o3為原點，u＞0，v＜0。
實測資料頻譜的週期特性在實踐中不容忽視。
在重磁資料處理中，我們研究的物件是實函式。實函式有限離散傅利葉變換的共軛性是實測資料頻譜的另一重要特性。
根據離散傅利葉變換公式，已知n為空間域取樣點的序號，若令式中n＝n-n，則有
勘探重力學與地磁學
式中：代表 的共軛函式，也表明了頻譜的共軛特性。
對於二維情況可以寫出
勘探重力學與地磁學
上式表明，第三象限的頻譜是第一象限頻譜的共軛；第四象限的頻譜是第二象限頻譜的共軛。圖10-14給出了頻率域的共軛關係。圖中ⅰ，ⅲ象限和ⅱ，ⅳ象限中對應符號點的頻譜互為共軛。
這一特性告訴我們，重磁資料處理只需對頻譜的ⅰ，ⅱ象限值進行計算，而對ⅲ，ⅳ象限內的頻譜只需求ⅰ，ⅱ象限頻譜的共軛就可以得到整個區域上的頻譜計算結果。
圖10-14 實測資料頻譜的共軛關係圖
2樓：伯微蘭邗珍
離散從時域看，是對連續訊號進行抽樣得到的。從頻域看，是對連續訊號的頻譜進行週期性搬移。所以，離散訊號的頻譜都是週期的。並且週期等於抽樣頻率。
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