1到n的次方和公式,1到N的平方和,立方和公式是怎麼推導的?

時間 2021-08-30 11:00:19

1樓:新南一竹

求1^5+2^5+3^5+…+n^5。

首先寫出和式的前6項

即1^5=1 2^5=32 3^5=243 4^5=1024 5^5=3125 6^5=7776

再求出相鄰兩數之差,得

31 211 781 2101 4651

再次求出相鄰兩數之差,得

180 570 1320 2550

再次求,一直求到只剩一個數為止

390 750 1230

360 480

120最後,取每一組數的第一個數(包括原陣列),得:1,31,180,390,360,120

則1^5+2^5+3^5+……+n^5=

1*c(1,n)+31*c(2,n)+180*c(3,n)+390*c(4,n)+360*c(5,n)+120*c(6,n)

對於某一個p,有一種通法可以求1^p+2^p+3^p+...+n^p。

首先寫出這個和式的前(p+1)項,

即1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p

然後求出相鄰兩數之差,得到的差有p個

再求出差的相鄰兩數之差,得到的差有(p-1)個

一直求下去,求到只剩一個差為止。

最後,包括原陣列1^p 2^p 3^p 4^p …… (p+1)^p,一共有(p+1)組數。

取每組數的第一個數a1、a2、a3、a4……a(p+1)(注:這(p+1)個數的順序為為求得差時的順序。)

則1^p+2^p+3^p+...+n^p

=a1*c(1,n)+a2*c(2,n)+a3*c(3,n)+…+a(p+1)*c(p+1,n)

2樓:楓島

如:a1=2,要求a1的1次方到10次方的和,可以在b1中用公式:

=sumproduct(a1^row(1:10))

1到n的平方和,立方和公式是怎麼推導的?

3樓:匿名使用者

1、1到n的平方和推導:1²+2²+3²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6

由1²+2²+3²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6

∵(a+1)³-a³=3a²+3a+1(即(a+1)³=a³+3a²+3a+1)

a=1時:2³-1³=3×1²+3×1+1

a=2時:3³-2³=3×2²+3×2+1

a=3時:4³-3³=3×3²+3×3+1

a=4時:5³-4³=3×4²+3×4+1

......

a=n時:(n+1)³-n³=3×n²+3×n+1

等式兩邊相加:

(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+。。。+n²)+3(1+2+3+。。。+n)+(1+1+1+。。。+1)

3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+2+3+。。。+n)-(1+1+1+。。。+1)

3(1²+2²+3²+。。。+n²)=(n+1)³-1-3(1+n)×n÷2-n

6(1²+2²+3²+。。。+n²)=2(n+1)³-3n(1+n)-2(n+1)

=(n+1)[2(n+1)²-3n-2]

=(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1]

=n(n+1)(2n+1)

∴1²+2²+。。。+n²=n(n+1)(2n+1)/6

2、1到n的立方和推導:1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

推導: (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1,

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1,

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把這n個等式兩端分別相加,得:

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

4樓:校椹風雲

平方和sn= n(n+1)(2n+1)/6,

推導:(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1,

n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1,

.......

2^3-1^3=3*(1^2)+3*1+1,

把這n個等式兩端分別相加,得:

(n+1)^3 -1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+...+n)+n,

由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

代人上式整理後得:

1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 。

立方和sn =[n(n+1)/2]^2,

推導: (n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1,

n^4-(n-1)^4=4(n-1)^3+6(n-1)^2+4(n-1)+1,

......

2^4-1^4=4*1^3+6*1^2+4*1+1,

把這n個等式兩端分別相加,得:

(n+1)^4-1=4(1^3+2^3+3^3...+n^3)+6(1^2+2^2+...+n^2)+4(1+2+3+...+n)+n

由於1+2+3+...+n=(n+1)n/2,

1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6,

代人上式整理後得:

1^3+2^3+3^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2

5樓:易方達

1^3+2^3+……+n^3=(1+2+…+n)^2,

1^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6。

(x+1)的n次方計算公式 寫出計算公式後,請將“(x+1)的9次方”,

6樓:愚人談娛樂

公比q=x

利用公式sn=a1(1-q^n)/(1-q)x的1次方+x的2次方+.+x的n次方

=x(1-x^n)/(1-x)

同時,注意,當x=1時,x的1次方+x的2次方+.+x的n次方=n

7樓:

用二項式定理 高2下冊書上有 求不懶,自己做對你有幫助。

8樓:怡落紅塵

可以根據古代的楊輝三角來求解

9樓:匿名使用者

(x+1)^n=c(n,0)a^n+c(n,1)a^(n-1)+c(n,2)a^(n-2)+...+c(n,n)

(x+1)^9=x^9+9x^8+36x^7+84x^6+126x^5+126x^4+84x³+36x²+9x+1

10樓:匿名使用者

(x+1)n=cn0xn+cn1xn-1+ cn2xn-2…………cnn-1x1+cnnx0

(x+1)9= c90x9+c91x8+ c92x7+c93x6+c94x5+c95x4+c96x3+c97x2+c98x1+c99

= x9+9x8+36x7+84x6+126x5++126x4+84x3+36x2+9x1+1

1到N的平方和,立方和公式是怎麼推導的

1 1到n的平方和推導 1 2 3 n n n 1 2n 1 6 由1 2 3 n n n 1 2n 1 6 a 1 a 3a 3a 1 即 a 1 a 3a 3a 1 a 1時 2 1 3 1 3 1 1 a 2時 3 2 3 2 3 2 1 a 3時 4 3 3 3 3 3 1 a 4時 5 4...

a 1a平方 2a的n次方 n 求和

a a 2 a 3 a n 1 2 3 n若a不等於1,那麼 a n 1 1 a 1 n n 1 2若a 1 那麼 n 1 2 3 n 1 2 3 n 1 n 1 n 2 小標悠悠 把式的到一個等比的和,一個等差得和,結果為a 1 a n 1 1 a 1 n 如果有什麼不懂可以再問我 守望本有 上式...

正整數1到n的平方和立方和公式是怎么推

平方和sn n n 1 2n 1 6,推導 n 1 3 n 3 3n 2 3n 1,n 3 n 1 3 3 n 1 2 3 n 1 1,2 3 1 3 3 1 2 3 1 1,把這n個等式兩端分別相加,得 n 1 3 1 3 1 2 2 2 3 2 n 2 3 1 2 3 n n,由於1 2 3 n...