1樓：電燈劍客
"對稱矩陣對角化p必須的是正交矩陣"
這種回答顯然大錯特錯, 不知道是誰的回答那麼不負責任.
將實對稱矩陣a相似對角化的時候(a=pλp^), 只能說p'可以'取成正交陣, 不可能說p'必須'是正交陣.
顯然, 如果某個正交陣q可以把a對角化, 那麼p=2q也可以, 且一定不是正交陣. 更一般一點, p=qd也可以, 其中d是非奇異的實對角陣.
如果a沒有重特徵值, 那麼特徵向量都有一定的唯一性, p只能取成上述的qd的形式, 特徵向量仍然是兩兩正交的.
如果a有重特徵值的話連上述的正交性意義都沒有, 因為重特徵值的特徵子空間可以選非正交基. 極端的例子是a=0, 此時p可以取任何非奇異陣, p的列之間可以沒有任何正交性.
2樓：匿名使用者
你的理解是對的
這類問題要看題目的要求是讓求可逆矩陣還是正交矩陣有時為了求 a^n 會求出正交矩陣p, 這樣可避免求p^-1 (此時等於p^t)
若是將實二次型化為標準形, 這裡的變換應該是正交變換, p應該是正交矩陣
為啥矩陣對角化時p矩陣不一定是正交矩陣，而在實對稱
3樓：數學劉哥
一般的矩復陣對角化時也可製以把矩陣p列向量組施密特正交化再單位化，
得到對應的正交矩陣，但是沒有必要這麼做，
實對稱矩陣是由二次型來的，每個二次型都對應乙個實對稱矩陣，要把二次型化為標準型或者規範型需要把實對稱矩陣對角化，令x＝py，代入二次型表示式，得到p矩陣必須是滿足p的轉置矩陣等於p的逆矩陣，滿足這個要求這個矩陣一定是正交矩陣，x＝py是正交變換
為什麼實對稱矩陣的相似對角化要用正交矩陣？
4樓：假面
對稱矩陣也可以用一般的由特徵向量組成的非奇異陣做對角化，只不過它有特殊的性質（對稱），因此我們就可以考慮特殊的對角化，也就是正交相似對角化。
這麼做有好處：正交矩陣的逆矩陣很容易求，就是它的轉置，不像一般的可逆陣需要半天才能求出來。如果是乙個1000*1000的矩陣求逆，那要多長時間才能做完？
但正交矩陣就太容易了，只要轉置一下就行了。
5樓：薔祀
實對稱矩陣的相似對角化要用正交矩陣一般都是為了簡化後續的計算。
因為實對稱矩陣是特殊的矩陣。他的特點就是可以正交對角化（一般的矩陣只能相似對角化）即把特徵向量組成的矩陣再進行斯密特正交化以及單位化 這樣做的目的是使得p的逆矩陣ap＝p的轉置矩陣ap，即p的逆矩陣＝p的轉置矩陣。
如果不進行正交化和對角化 則只是p的逆矩陣ap＝b 即a b相似。
擴充套件資料：
實對稱矩陣主要性質：
1.實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2.實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3.n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4.若λ0具有k重特徵值 必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0e-a)=n-k，其中e為單位矩陣。
6樓：king李澤言
因為實對稱矩陣是特殊的矩陣 他的特點就是可以正交對角化（一般的矩陣只能相似對角化）即把特徵向量組成的矩陣再進行斯密特正交化以及單位化 這樣做的目的是使得 p的逆矩陣ap＝p的轉置矩陣ap 即p的逆矩陣＝p的轉置矩陣 如果不進行正交化和對角化 則只是p的逆矩陣ap＝b 即a b相似。
為什麼實對稱矩陣要求其正交矩陣，而不是可逆矩陣使其對角化？
7樓：aii豬豬俠
題目為什麼往往要求求正交矩陣，這也是為什麼要討論對角化的乙個主要的目的之一，是為了求已知矩陣a的n次方，即a^n
因為t^(-1)at=b（對角陣）
那麼a^n=tb^nt^(-1)
由於對角陣b的n次方很好求，所以把a^n轉化成b^n
但是如果矩陣t只是可逆，那麼求它逆需要一定的過程，
而如果矩陣t是正交矩陣的話，那麼它的逆就是它的轉置，求起來更加方便 ，
因此一般來講對於實對稱矩陣，我們都要求要會求其正交矩陣。
實對稱矩陣是矩陣，對的，但是實對稱矩陣是一種特殊的矩陣，作為特殊的矩陣，那麼除了一般矩陣性質以外還有一些特殊的性質，比如
1）實對稱矩陣的特徵值全為實數，
2）實對稱矩陣中屬於不同特徵值的特徵向量必正交。
3）n階實對稱矩陣一定有n個線性無關的特徵向量。
4）實對稱矩陣一定可以對角化。
由性質4可知:對於實對稱矩陣，一定存在可逆陣t, 使得t^(-1)at=對角陣。
8樓：匿名使用者
「俊狼獵英」團隊為您解答：
實對稱矩陣是矩陣，對的，但是實對稱矩陣是一種特殊的矩陣，作為特殊的矩陣，那麼除了一般矩陣性質以外還有一些特殊的性質，比如
1）實對稱矩陣的特徵值全為實數，
2）實對稱矩陣中屬於不同特徵值的特徵向量必正交。
3）n階實對稱矩陣一定有n個線性無關的特徵向量。
4）實對稱矩陣一定可以對角化。
由性質4可知:對於實對稱矩陣，一定存在可逆陣t, 使得t^(-1)at=對角陣。
至於為什麼實對稱矩陣一定要求正交矩陣，這個對於題目來沒有一定的要求，如果單單討論它的對角化問題，你不一定非要求出是正交矩陣的。要求正交矩陣，往往是題目的要求。
至於題目為什麼往往要求求正交矩陣，這也是為什麼要討論對角化的乙個主要的目的之一，是為了求已知矩陣a的n次方，即a^n
因為t^(-1)at=b（對角陣）
那麼a^n=tb^nt^(-1)
由於對角陣b的n次方很好求，所以把a^n轉化成b^n
但是如果矩陣t只是可逆，那麼求它逆需要一定的過程，
而如果矩陣t是正交矩陣的話，那麼它的逆就是它的轉置，求起來更加方便 ，
因此一般來講對於實對稱矩陣，我們都要求要會求其正交矩陣。
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