1樓：beauty春城晚報
令g（x）=f（x）-x，則g（x）在[12
，1]連續，在(12
，1)可導，且g（1）=f（1）-1=0-1=-1＜0，g(1
2)=f(12
)-12
=1-12=1
2＞0∴由零點定理：∃η∈(12
，1)，使得g（η）=0，即f（η）=η
命題得證
（2）設h（x）=e-λx[f（x）-x]，x∈[0，η]，則h（x）在[0，η]連續，在（0，η）可導，且h（0）=h（η）=0
∴由洛爾定理可知，∃ξ∈（0，η），使得h'（ξ）=0又h'（x）=e-λx[f'（x）-1-λ（f（x）-x）]∴由h'（ξ）=0，得：
e-λξ[f'（ξ）-1-λ（f（ξ）-ξ）]=0∴f'（ξ）-λ（f（ξ）-ξ）=1
命題得證
2樓：茹翊神諭者
可以考慮羅爾定理
答案如圖所示
設f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1),證明:存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0？
3樓：崇元化
令φ(x)=f(x)-(1-x)，
則φ(x)在[0，1]上連續，
φ(0)=-1＜0，φ(1)=1＞0，
故由零點存在定理，
知存在ξ∈(0，1)，使[*]
由拉格朗日微分中值定理，
存在η∈(0，ξ)，ζ∈(ξ，1)，使 [*]故 f』(η)・f』(ζ)=1。
4樓：
題目應該是兩個一階導數的和為0吧（因為題目都沒有說f函式有二階導數），如果是一階導數的話，過程如下請參考
5樓：匿名使用者
問題是這樣嗎?如果f(x)=(x-1/2)^2，那也滿足f(0)=f(1)，但是f"(x)=2恆成立，就不存在ξ,η∈(0,1),使得f"(ξ)+f"(η)=0
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,有f(1)=0.證明:至少存在一點ε∈(0,1),使f'(x)=-f(ε)/ε。
6樓：你愛我媽呀
證明過程如下：
設g(x)=xf(x)，
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0。
所以g(x)在[0，1]上連續，在(0，1)內可導且g(0)=g(1)，由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0，1)，使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0.
所以f'(ε)=-f(ε)/ε。
7樓：匿名使用者
證明：設g(x)=xf(x),
則g'(x)=xf'(x)+f(x) , g(1)=1f(1)=0 , g(0)=0*f(0)=0
所以g(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導且g(0)=g(1),由羅爾中值定理得：
存在一點ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε) =(g(1)-g(0))/(1-0)=0
所以f'(ε)=-f(ε)/ε
設函式f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(0)=f(1)=0,證明:至少存在一點,使得f'
8樓：字染碧亥
構造輔助函式
f(x)=f(x)e^(2x)，它在[0，1]上連續，在(0，1)內可導
且f(1)=f(0)=0
那麼，根據羅爾中值定理，存在一點§，使得f'(§)=0即f'(§)+2f(§)=0
希望對樓主有幫助~~
設如果f(x)在[0,1]上連續,在(0,1)內可導,且f(1)=f(0)=0,f(1/2)=1,則存在 5
9樓：匿名使用者
存在找特例。三個點座標，連續，得出可能為拋物線。
設，f(x)=-4(x-1/2)^2+1,則f'(x)=-8x+4,-8x+4=1,則x=3/8.
所以存在這樣的點
10樓：茹翊神諭者
建構函式即可
答案如圖所示
設fx在[0,1]上連續在(0,1)內可導且f(1)=0證明存在一點ξ屬於(0,1)使2f(ξ)+ξf'(ξ)=0
11樓：寂寞的楓葉
證明：令g(x)=x^2，g(x)=g(x)*f(x)。
因為f(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導，且g(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導，那麼g(x)=g(x)*f(x)在[0,1]上連續在(0,1)內可導。
且g(x)'=(g(x)*f(x))'=(x^2*f(x))'
=x^2f'(x)+2xf(x)
而g(0)=g(0)*f(0)=0*f(0)=0g(1)=g(1)*f(1)=g(1)*0=0，即g(0)=g(1)，
那麼在(0,1)內存在一點ξ，使g(x)'=0即g(ξ)'=0
ξ^2f'(ξ)+2ξf(ξ)=0，又ξ≠0，則ξf'(ξ)+2f(ξ)=0
12樓：
建構函式f(x)=x²f(x)，則f(x)在[0,1]上連續，在(0,1)內可導，f(0)=f(1)=0，由羅爾定理，存在一點ξ∈(0,1)，使f'(ξ)=0。
f'(x)=2xf(x)+x²f'(x)。
所以，2ξf(ξ)+ξ²f'(ξ)=0，所以2f(ξ)+ξf'(ξ)=0。
設函式f（x）在[0，1]上連續，在（0，1）內可導，且f（0）f（1）＜0．求證：存在ξ∈（0，1），使得ξf′
13樓：手機使用者
令g（x）=x2e-xf（x）du，zhi則g（x）在[0，1]上連續dao，在（回0，1）內可導，且答
g′（x）=xe-x[xf′（x）+（2-x）f（x）]．因為f（0）f（1）＜0，
由連續函式的零點存在定理可得，?c∈（0，1）使得f（c）=0，從而g（c）=0．
又因為g（0）=0，
故對函式g（x）在區間[0，c]上利用羅爾中值定理可得，存在ξ∈（0，1），使得g′（ξ）=0，
即：ξe-ξ[ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）]=0．又因為ξe-ξ≠0，
故ξf′（ξ）+（2-ξ）f（ξ）=0．
設函式f x 在上連續，在（0,1）上可導，且f 1 f 0 0,f
碧白楓費歡 根據有關法則，f 應當連續，而且有一點是0 假如f 在定義域不等於1，那麼一定小於1，則 0 1 2 f 1 2,這與f 1 2 1矛盾，故題設成立 茹翊神諭者 可以考慮羅爾定理 答案如圖所示 長沛凝戚儒 一 1 令f x f x x 則f 1 2 1 2,f 1 1 有零點定理知，f ...
上連續,在 0,1 內可導,f 0 0,f xf x ,證明 f x
條件應該改成 f x f x 由條件知f x f x 即f x f x 0 注意到 e x f x e x f x f x 0 即 e x f x 在 0,1 上單調遞減。任取0 f x1 e x1 f x2 e x2任意取定x2 x0代入上式得 當0 lim f x e x limf x lime...
設f x 在點x 0處可導，且f 0 0,f 0 不等於0又F x 在點x 0處亦可導。證明F
f x 在點x 0處可導，即當x 0時，lim f x f 0 x 存在 由於f x 在點x 0處可導，必定在x 0處連續，當x 0時，limf x f 0 0 當x 0時 lim f f x f f 0 x lim x f 0 f 0 我是一個老王八 證明 f f t f 0 t f f t f ...