1樓：匿名使用者
存在性證明
過直線b作平面a平行於a，將a向a投影得a'交b於點p過點p作直線c垂直於a
∵c⊥a
∴c⊥b且c⊥a'
∵a‖a'且c∩a'=p
∴c⊥a=p'
則c即為a,b公垂線
唯一性證明
假設公垂線不唯一，過b上任一點m作公垂線交a於n∵mn⊥a a‖a'
∴mn⊥a'
又∵mn⊥b
∴mn⊥a
∵mn∩a=n且mn⊥a'
∴mn∩a'=n'
過平面外一點有且只有一條直線垂直於平面
∴m=n'=p(三點重合)
得過點p有兩條直線與a垂直,與定理(過平面上一點有且只有一條直線垂直於平面)矛盾,故假設不成立.唯一性得證.
(好久不證了,有點生.有什麼不對的你還得自己改改)
2樓：夕陽乞丐
簡單的說就是公垂線段的長度為兩異面直線的距離，異面直線上的任意兩點見的距離是不相等的，要是有多於一條公垂線的話，那麼兩異面直線間的距離也就是不定的了
當然，那只是語言描述行的解釋，還可以證明，不過圖你要自己去想了
證明：設a,b兩條異面直線，在b上去一點e，過e引a^//a,設b a^確定乙個平面h，則a//h，在a上去一點f，過f引fm垂直於h，垂足為m，設a和fm確定平面j與平面h相交於直線c,c於b相交於b點，在j內作ba//mf，交a於點a，則
ab垂直於h，ab垂直於b，ab垂直於a^
又因為a//a^,所以ab垂直於a,ab是a,b的公垂線段
如果還有直線a~b~也是a,b的公垂線段，則a~b~垂直b，a~b~垂直a,a~b~垂直h。
所以a~b~//ab，a~b~和ab共面，即a，b共面，這與a，b是異面直線相矛盾，所以…………
總體用的反證法，（注意a~和b`~是個單獨的代表，還有注意字母有帶標記的，為不同）
任意兩條異面直線有且只有一條公垂線，和兩條異面直線都垂直的直線有無數條。
3樓：駱駝麻麻
會吧，和兩條異面直線都垂直的直線有可能是在兩條直線中間，如果一條直線垂直於乙個平面，與它異面的另乙個直線就不垂直這個平面
兩條異面直線的公垂線有幾條？ 15
4樓：老衲很無聊
要麼只有一條，要麼就沒有，要麼就有無數條。立體幾何當中的兩條直線關係，相交，永不相交，平行，不平行，因為不是同一平面，關係就多了
a,b為異面直線,過空間任意一點p,一定能作一條且只能作一條直線l與a,b都垂直 這句話怎
5樓：匿名使用者
這個是異面直線公垂線的定理，你自己多看一下定理的證明就可以了。
定理任意兩條異面直線有且只有一條公垂線
證明：（存在性）
設m、n是兩條異面直線，過m上一點p作直線a∥n，則m和a確定乙個平面α。
過p作直線b⊥α，則b⊥m，b⊥a，b⊥n，且b和m確定乙個平面β。
∵m、n異面
∴n不在β內
且n不會與β平行，這是因為如果n∥β，則a∥β或a⊂β∵p∈β，p∈a
∴a與β不平行
若a⊂β，∵b⊥m，b⊥a，m∩a=p
∴a和m重合，即m∥n，矛盾
∴n與β不平行，即n和β相交
設這個交點為q，即q∈β，過q作直線l⊥m，則l∥b∴l⊥n，即l同時垂直m、n，且l和m、n交點分別為p、q（唯一性）
由存在性的證明可知n和β只有乙個交點q，經過q點有且只有一條直線l⊥m，因此異面直線的公垂線有且只有一條。
試證明兩異面直線有且只有一條公垂線．
6樓：命運之河
反證法---證明唯一性
假設有兩條公垂線，則他們都與異面直線相交（公垂線的定義）所以兩公垂線確定乙個平面a（公理3）
所以4個交點共面a
因為每條異面直線都有兩個點在平面a上
所以每條異面直線都在平面a上（公理2）
所以兩條異面直線共面a，引出矛盾
所以假設不成立，只能有一條公垂線
（下面證明存在性）
設異面直線a、b
過b上任意一點m作直線c平行a，則b、c確定平面a（公理3）過點m作一條直線d垂直平面a
則d與b確定乙個平面b（公理3）
因為a、b是異面直線
所以a與平面b相交於一點p（異面直線的定義）過點p在平面b內作直線垂直b，則該直線就是公垂線（公垂線的定義）自己畫圖，標字母，根據圖形自己組織數學符號語言作答
數學空間兩條直線的公垂線怎麼求？
7樓：匿名使用者
設m、n是兩條異面直線，過m上一點p作直線a∥n，則m和a確定乙個平面α。
過p作直線b⊥α，則b⊥m，b⊥a，且b和m確定乙個平面β。
n和β相交，設這個交點為q。
在平面β內，經過q點作直線l⊥m，直線l就是m、n是兩條異面直線的公垂線。
例:l1:(x-1)/2=(y-1)/(-1)=(z-1)/(-1).l2:(x-1)/1=(y-5)/(-3)=z/2
解:設二直線的公垂線與l1、l2交於a(2m+1,-m+1,-m+1)、b(n+1,-3n+5,2n)
向量ba=(2m-n,-m+3n-4,-m-2n+1)是公垂線的乙個方向向量。
l1的方向向量是(2,-1,-1),l2的方向向量是(1,-3,2)
有2(2m-n)-(-m+3n-4)-(-m-2n+1)=0
即 2m-n+1=0 (1)
(2m-n)-3(-m+3n-4)+2(-m-2n+1)=0
即 3m-14n+14=0 (2)
由(1)(2) 解得 m=0 且 n=1
a(1,1,1),b(2,2,2),向量ab=(1,1,1)
所以 直線ab的公垂線方程是(x-1)/1=(y-1)/1=(z-1)/1
即x=y=z
拓展內容
公垂線
一條直線同時垂直於兩條或兩條以上線段或直線，這條直線就是被垂直的線段或直線的公垂線。然而，如同兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，這才被叫做公垂線段。
概念
例如線段a垂直於線段b，同時也垂直於線c，甚至更多的d、e、f……那麼線段a就是線b、c的或者是d、e、f的公垂線。
引申含義
兩條直線不在公垂線上經過同一點，這兩條直線必不交叉。
兩條直線經過公垂線上的同一點，這兩條直線所在的平面，必定垂直於公垂線，並且這個平面必垂直於他們和公垂線組成的平面。
公垂線可以和被垂直的線段或者直線在乙個平面內，也可以不在乙個平面內。公垂線可以和被垂直物件交叉，也可以不交叉。
異面直線的公垂線
同時和兩條異面直線垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線。兩個交點之間的線段長度，叫做異面直線的距離。
8樓：瀛洲煙雨
作圖:找和這兩條線平行的平面,作這個平面的垂線段,把垂線段平移到和兩個原兩直線都相交.
代數:這兩條線的方向向量叉乘(高中數學或大學物理,數學),叉乘所得就是所求線的方向向量,平移到和兩個原兩直線都相交即可.
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