1樓：匿名使用者
柯西不等式可以簡單地記做：平方和的積 ≥ 積的和的平方。它是對兩列數不等式。取等號的條件是兩列數對應成比例。
如：兩列數
0，1和 2，3
有 (0^2 + 1^2) * (2^2 + 3^2) = 26 ≥ (0*2 + 1*3)^2 = 9.
形式比較簡單的證明方法就是構造乙個輔助函式，這個輔助函式是二次函式，於是用二次函式取值條件就得到cauchy不等式。
還有一種形式比較麻煩的，但確實很容易想到的證法，就是完全把cauchy不等式右邊-左邊的式子，化成一組平方和的形式。
我這裡只給出前一種證法。
cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有
(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2
= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有
δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
學了更多的數學以後就知道，這個不等式可以推廣到一般的內積空間中，那時證明的書寫會更簡潔一些。我們現在的證明只是其中的乙個特例罷了。
2樓：閒來無聊
★用一元兒次方程根的判別式b^2-4ac
1,將不等式變形(移項,兩邊同乘4)
2,得到乙個兒次函式的判別式,於是建構函式（1）當a1＝a2＝．．．an時不等式等號成立（2）當a1^2+a2^2+....an^2不等於0時．函式是開口向上的拋物線，對任意實數y≥0恆成立．
有點複雜,你可以自己試試``(用我們老師的話講,要"湊"!)
3樓：梅花香如故
樓上的寫的都是教科書的證法，本人給出另一證法：
設向量a=(a1,a2,…,an)向量b=(b1,b2,…,bn)於是cos=a*b/(|a|*|b|)=(∑ai * bi)/【(∑ai^2) * (∑bi^2)】
注意|cos|≤1
於是有|(∑ai * bi)/【(∑ai^2) * (∑bi^2)】|≤1
那麼得到柯西不等式
當且僅當a，b向量同向共線時等號成立，即
a1/b1=a2/b2=…=an/bn時等號成立
4樓：生馳烴
等我學會了，一定告訴你
5樓：匿名使用者
我也是！！！！hoho ~~~
等我學會1.定1.字不差告訴你！！
1.定哈！
6樓：匿名使用者
cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.
我們令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2= (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)
則我們知道恒有
f(x) ≥ 0.
用二次函式無實根或只有乙個實根的條件，就有δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.
於是移項得到結論。
7樓：匿名使用者
作輔助二次函式可以證明.
其實更簡單的,用向量來證.
m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)
mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2乘以cosx．
因為cosx小於等於0，所以：
a1b1+a2b2+......+anbn小於等於a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2
這就證明了不等式．
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x y x 2 2xy y 2 2 0 x y 2 x 2 2xy y 2 x y 2 x y 2 x y 1 x y 2 顯然x y 2 x y 1 1 又因為2 x y 16 x y 8 聯立方程組 x y 8 x y 2 解得 x 5 y 3 s 3 5 15 不懂，請追問，祝愉快o o 2x...