1樓：匿名使用者
對函式來說,在自變數的某變化過程中,其極限是否存在,如果存在的話,僅僅靠觀察然後用定義去證明其正確性是遠遠不夠的.我們這節先來研究極限的一些運算規律,利用它我們可以根據已知的極限來求出一些相關函式的極限.
由於我們已經知道了函式的極限與無窮小的關係,我們先來研究無窮小的運算法則,然後再利用它做工具研究函式的運算性質.
定理1強調了"有限"個,如果無窮多個則結論未必成立,這點在定積分的定義中會看的更清楚.如果要證明定理1,我們已掌握的工具是什麼 課本中是如何證明的
有界函式與無窮小的乘積是無窮小,它的證明也是應用了無窮小的定義證明的,請分析一下證明過程,指出在這個證明中,相當與定義中的,這裡是什麼(這正是本證明的特點) 如果把定理2中的"有界函式"換成(在同一過程下的)極限存在的函式,結論是否成立 為什麼 這麼說,定理2的推論2可以作何推廣 推論1是把常數看作什麼得出的
2樓：匿名使用者
首先需要二項式定理：
（a+b）^n=∑ c（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）
用數學歸納法證此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
�8�7 a+b
�8�7 故此，n=1時，式一成立。
設n1為任一自然數，假設n=n1時，（式一）成立 ，即：
（a+b）^n1=∑ c（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
則，當n=n1+1時:
式二兩端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ c（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
=> (a+b)^(n1+1)= ∑ c（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據乘法分配律)
因此二項式定理（即式一成立）
下面用二項式定理計算這一極限：
（1+1/n）^n （式一）
用二項式得：
（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由於二項式係數項的分子乘積的最高次項與（1/n）的次數相同，而係數為1，因此，最高次項與（1/n）的相應次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應次方相約後，分子剩下常數，而分母總餘下n的若干次方，當n -> +∞,得0。因此總的結果是當n -> +∞，二項式係數項的各項分子乘積與（1/n）的相應項的次方相約，得1。餘下分母。
於是式一化為：
（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！ （式二）
當n -> +∞時，你可以用計算機，或筆計算此值。這一數值定義為e。
補充：將式二和公比為1/2的等比數列比較，其每一項都小於此等比數列，而此等比數列收斂，因此，式二必定收斂於一固定數值。
高數 有界函式和無窮小的乘積仍為無窮小 為什麼？
3樓：茲斬鞘
從定義來說明，對於有界函式則存在m，使得|f（x）|≤m，|f（x）g（x）|≤｜f（x）｜｜g（x）｜=m｜g（x）｜。
則對任意的ξ，存在n，使x>n時，有|g（x）｜<ξ，現在只要把n換為另乙個數，使得｜g（x）｜<ξ/m即可，這樣的n是肯定存在的。
擴充套件資料
極限的求法有很多種：
1、連續初等函式，在定義域範圍內求極限，可以將該點直接代入得極限值，因為連續函式的極限值就等於在該點的函式值
2、利用恒等變形消去零因子（針對於0/0型）
3、利用無窮大與無窮小的關係求極限
4、利用無窮小的性質求極限
5、利用等價無窮小替換求極限，可以將原式化簡計算
6、利用兩個極限存在準則，求極限，有的題目也可以考慮用放大縮小，再用夾逼定理的方法求極限
7、利用兩個重要極限公式求極限
4樓：阿根廷國家隊
不是有屆函式的話也就是說0乘以無窮大的話就不一定是0了
5樓：匿名使用者
f(x)為有界函式，那麼|f(x)|≤m，m為非負常數，m<∞，因此有界函式和無窮小的乘積為無窮小
高等數學:證明一下無窮小與有界函式的乘積是無窮小.謝謝哈！
6樓：簡稱墮天使
和這題死乙個意思吧
設數列xn有界，yn極限為0，求證：xnyn的極限為0證明：因為數列有界
所以不妨假設|xn|0)
因為數列的極限是0
則對於任意給出的e,總存在n,使得n>n時,|yn|n的時候|xnyn|=|xn||yn| 由於e的任意性 所以數列的極限是0 7樓：匿名使用者 這個就是好像就是書上的性質之類的，將有界函式的最大值設為m，m與無窮小的乘積與這個無窮小是同階無窮小，所以它還是無窮小啊 後面是交錯級數，1 n 1 n 由於 1 n 趨於 0 因此級數收斂 實際上趨於 ln2 而前面 1 n 是無窮小量，因此級數是無窮小量 n為偶數，則 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 1 n 1 1 2 1 3 1 4 1 n 1 1 n 1 1 ... 根據極限的性質，如果f x 和g x 都有極限。那麼lim f x g x limf x limg x lim f x g x limf x limg x 根據這個性質，很容易就證明這個命題。必要性 如果lim x x0 f x a，令a x f x a，則lim x x0 a x lim x x0... 甜的樣子 f x a x 這個等價於lim x 2 f x 這個不能代數值進去，它只是lim x 2 f x 的另一種表達形式，相當於告訴你 f x a x f x 和a非常接近的意思而已 還有該函式在x 2處雖然連續但是不可導，所以極限值不等於函式值，直接代入2進去是錯誤的 所以說不是連續函式才有...證明數列為無窮小量，為什麼「無窮多個無窮小的乘積不一定是無窮小」？
無窮小與函式極限的關係是什麼
關於函式等於極限加上無窮小的問題，具體如圖所示