絕對值不等式的解法,麻煩先具一條比較簡單例子,謝謝

時間 2021-08-11 18:15:20

1樓:

解絕對值不等式時,要按照絕對值內的值的正負來去掉絕對值,如:當x≥0時,|x|=x,當x<0時,|x|=-x.當一個絕對值不等式中含有多個絕對值時,則要分幾種情況來討論,最後取這幾種情況的解集的並集得到該不等式的解集

例:解不等式|2x+5|-|x-4|<2x+3(1).當2x+5≥0且x-4≥0時,即x≥-5/2且x≥4x的範圍是x≥4

(2).當2x+5≥0且x-4<0時,即x≥-5/2且x<4x的範圍是-5/2≤x<4

(3).當2x+5<0且x-4>0時,x的範圍不存在(4).當2x+5<0且x-4<0時,即x<-5/2且x<4x的範圍是x<-5/2

(1),(2),(4)種情況將實數軸分為3部分(1).當x≥4時,2x+5≥0且x-4≥0去掉絕對值,得2x+5-(x-4)<2x+3得x>6取x≥4和x>6的交集,得解集x>6

(2).當-5/2≤x<4時,2x+5≥0且x-4<0去掉絕對值,得2x+5-[-(x-4)]<2x+3得x<2取-5/2≤x<4和x<2的交集,得解集-5/2≤x<2(4).當x<-5/2時,2x+5<0且x-4<0去掉絕對值,得-(2x+5)-[-(x-4)]<2x+3得x>-4取x<-5/2和x>-4的交集,得解集-46

2樓:

9月17日 12:03 [絕對不等式的解法]解絕對不等式的基本思路:去掉絕對值符號轉化為一般不等式,轉化方法有(1)零點分段法(2)絕對值定義法(3)平方法

例如:解不等式

(1)|3x-5|≥1(2)|x+1|>|2x-1|(3)|x+1|+|x-3|>5

解:(1)由絕對值定義得:

3x-5≥1或3x-5≤-1

∴x≥2或x≤4/3,即為解.

(2)兩邊同時平方,得:

x^2+2x+1>4x^2-4x+1

<=>x^2-2x<0

<=>0<x<2

(3)原不等式等價於:

x<-1 或 -1≤x≤3 或 x>3

-x-1-x+3>5 x+1-x+3>5 x+1+x-3>5由以上得x<-3/2或x>7/2

這下你該知道了吧!還滿意嗎?

關於絕對值不等式的解法

3樓:加菲21日

解決與絕對值有關的問題(如解絕對值不等式,解絕對值方程,研究含有絕對值符號的函式等等),其關鍵往往在於去掉絕對值的符號。

而去掉絕對值符號的基本方法有二:其一為平方,其二為討論。

所謂平方,比如,|x|=3,可化為x^2=9,絕對值符號沒有了!

所謂討論,即x≥0時,|x|=x ;x<0時,|x|=-x,絕對值符號也沒有了!

以下,具體說說絕對值不等式的解法。

首先說“平方法”。

不等式兩邊可不可以同時平方呢?一般來說,有點問題。比如5>3,平方後,5^2>3^2,但1>-2,平方後,1^2<(-2)^2。

***事實上,本質原因在於函式y=x^2在r上不單調。

但我們知道,y=x^2在r+上是單調遞增的,因此不等式兩邊都是非負時,同時平方,不等號的方向不變,這是可以的。

這裡說到的***單調性的問題,是高一數學的重點內容,現在不明白可以跳過,到時候可一定要用心聽!

有初中數學的基礎,也應該明白,對兩個非負數來說,大的那個數,它的平方也相應會大一些;反過來,平方大一些的數,這個數本來也會大一些。

比如|2x-1|≥1,兩邊同時平方,可得(2x-1)^2≥1,

整理得4x^2-4x≥0,即4x(x-1)≥0,因此x≤0或x≥1

*****===注意*****===

這裡用到了“一元二次不等式的解法”,現在的初中肯定還是要學一元二次方程的解法的,學不學一元二次不等式的解法,我就不清楚了。如果沒學,那“平方法”先放一放,跳到“討論法”吧——見華麗的分割線!

*****===end*****===

一般地,|f(x)|≥a(a>0),那麼f(x)^2)≥a^2,即f(x)^2)-a^2≥0

因式分解得[f(x)+a}[f(x)-a])≥0,因此f(x))≤-a或f(x)≥a (*)

(ps.若a≤0,則|f(x)|≥a的解集為r。想一想,沒問題吧:))

同理,由|f(x)|≤a(a>0),可得-a≤f(x)≤a。 (**)

熟練了以後,結論(*)、(**)都可以直接使用。

比如|2x-1|<5,由結論(**)(當然,這裡沒有等號,將等號去掉就可以了)可得:

-5<2x-1<5,即-27-8x

你看,平方一次,絕對值符號少了一個,但還有一個,怎麼辦?當然再平方一次!但問題是,這次還能平方嗎?

不可以了,因為7-8x的符號未必是正啊!那怎麼辦?討論!

若7-8x<0,即x>7/8,則原不等式顯然成立!(為什麼?) ①

若7-8x≥0,即x≤7/8,則原不等式等價於4(x+1)^2>(7-8x)^2

整理得:4x^2-8x+3<0,即(2x-1)(2x-3)<0,因此1/21/2}

問題解決了!

********************我是華麗的分割線********************

回到問題的一開始,對於|x-3|-|x+1|<1這樣的不等式,我們更多的時候,可以從一開始進行討論。

|x-3|中的絕對值符號能否去掉?去掉以後,式子會發生怎樣的變化?關鍵在於x>3還是x<3,

因此x與3的大小關係是一個關鍵。

同樣的道理,考察|x+1|,可以知道x與-1的大小關係也是一個關鍵。

於是,在兩個關鍵處,進行如下的討論:

(1)若x<-1,則x+1<0,x-3<0,

此時,原不等式可化為-(x-3)+(x+1)<1,即4<1,荒謬,捨去!

(2)若-1≤x<3,則x+1≥0,x-3<0,

此時,原不等式可化為-(x-3)-(x+1)<1,即-2x+2<1,解得x>1/2

再考慮到-1≤x<3,因此1/20,x-3≥0,

此時,原不等式可化為(x-3)-(x+1)<1,即-4<1,顯然成立!因此x≥3

綜合(2)(3)的結果可知,原不等式的解集為

那麼對於第一個例子,1≤|2x-1|<5,怎麼用“討論法”,應該沒問題了吧!

(1)若2x-1≥0,即x≥1/2,則原不等式可化為1≤|2x-1|<5,……

(2)若2x-1<0,即x<1/2,則原不等式可化為1≤1-2x<5,……

以下略。

順便說一下,x=1/2時,2x-1=0,因此數學上,把x=1/2叫做式“2x-1”的零點。我們以上

使用的“討論法”,更具體的名稱是“零點分段討論法”。

但就其蘊含的數學思想來說,就是“分類討論”,這可是高中數學的基本思想方法,一定要掌握!

以上,從絕對值的代數意義出發,即“數”的角度,給出瞭解絕對值不等式的兩種常規思路,希望能給你有所啟發。

考慮到絕對值還有著極為有趣的幾何意義,因此從“形”的角度出發,也可以得到一些有意思的解法。

這事實上就涉及到高中數學中另一種極為重要的思想方法,即“數形結合”。

篇幅的關係,就不贅述了。(其實,我也累了……)

比如這道初中競賽題:求|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值。有興趣可以試一試!

再說明一下,http://zhidao.baidu.

com/question/175584325.html?fr=uc_push這個帖子我也看到了,準備回答的時候(寫了一些,但沒有你現在看到的這個那麼長篇大論),已經封貼了。

還想著白寫了呢,正好你又發問,也算是有緣吧……

誰有高一數學小**。急!!!

4樓:杯中映著明月

可以嗎,這個 ???

高一是數學學習的一個關鍵時期。我發現,許多小學、初中數學學科成績的佼佼者,進入高中階段,第一個跟斗就栽在數學上。要學好高中數學,要求自己對高中數學知識有整體的認識和把握。

集合 進入高中,學習數學的第一課,就是集合。概念抽象、符號術語多是集合單元的一個顯著特點,例如交集、並集、補集的概念及其表示方法,集合與元素的關係及其表示方法,集合與集合的關係及其表示方法,子集、真子集和集合相等的定義等等。集合中的元素具有“三性”:

(1)確定性:集合中的元素應該是確定的,不能模稜兩可。(2)互異性:

集合中的元素應該是互不相同的,相同的元素在集合中只能算作一個。(3)無序性:集合中的元素是無次序關係的。

例:已知集合m={x|x²+x-6=0}集合n={y|ay+2,a∈r},且n∩cum=φ,則實數a=多少?解:

因為n∩cum=φ所以n⊆ m 因為m={x|x²+x-6=0}={-3,2} 所以n={2}或{-3}或{-3,2} 當n=φ時,a=0 當n={2}時,2a+2=0,a=-1 當n={-3}時,-3a+2=0,a=2/3 所以實數a=0或a=-1或a=2/3注意:不能忘記φ時的情況 不等式(1)絕對值的問題,考慮去絕對值,去絕對值的方法有:對絕對值內的部分按大於、等於、小於零進行討論去絕對值;通過兩邊平方去絕對值;需要注意的是不等號兩邊為非負值。

含有多個絕對值符號的不等式可用“按零點分割槽間討論”的方法來解。(2)分式不等式的解法:通解變形為整式不等式;(3)不等式組的解法:

分別求出不等式組中,每個不等式的解集,然後求其交集,即是這個不等式組的解集,在求交集中,通常把每個不等式的解集畫在同一條數軸上,取它們的公共部分。(4)解含有引數的不等式:解含引數的不等式時,首先應注意考察是否需要進行分類討論.

如果遇到下述情況則一般需要討論:①不等式兩端乘除一個含引數的式子時,則需討論這個式子的正、負、零性.②在求解過程中,需要使用指數函式、對數函式的單調性時,則需對它們的底數進行討論.

③在解含有字母的一元二次不等式時,需要考慮相應的二次函式的開口方向,對應的一元二次方程根的狀況(有時要分析△),比較兩個根的大小。例:解關於x的不等式x-a/x+1<0解:

將題目整理變形(a-1)x/a<-1,分類討論x的係數(1)當(a-1)/a>0,即a<0或a>1時,xa/(a-1).(3)當(a-1)/a=0,即a=1時,x取任意實數不等式恆成立. 函式

一、函式的三要素: , , 。(1)函式解析式的求法:

①定義法(拼湊):②換元法:③待定係數法:

④賦值法:(2)函式定義域的求法: 含參問題的定義域要分類討論; 對於實際問題,在求出函式解析式後;必須求出其定義域,此時的定義域要根據實際意義來確定。

(3)函式值域的求法: ①配方法:轉化為二次函式,利用二次函式的特徵來求值;②逆求法(反求法):

通過反解,用y來表示x,再由x的取值範圍,通過解不等式,得出y的取值範圍;④換元法:通過變數代換轉化為能求值域的函式,化歸思想;⑤三角有界法:轉化為只含正弦、餘弦的函式,運用三角函式有界性來求值域;⑥基本不等式法:

利用平均值不等式公式來求值域;⑦單調性法:函式為單調函式,可根據函式的單調性求值域。⑧數形結合:

根據函式的幾何圖形,利用數型結合的方法來求值域。

二、函式的性質: 函式的單調性、奇偶性單調性:定義:

注意定義是相對與某個具體的區間而言。判定方法有:作差比較和影象法。

應用:比較大小,證明不等式,解不等式。奇偶性:

定義:注意區間是否關於原點對稱,比較f(x) 與f(-x)的關係。f(x) -f(-x)=0 f(x) =f(-x) f(x)為偶函式; f(x)+f(-x)=0 f(x) =-f(-x) f(x)為奇函式。

例:已知f(x)為奇函式,當x>0時,f(x)=x(1-x),則x<0時,f(x)=_______ 解:設x<0,那麼-x>0代入f(x)=x(1-x),得f(-x)=-x(1+x), f(x)為奇函式 所以f(-x)=-f(x) 得f(x)=x(1+x),

絕對值不等式的解法,絕對值不等式解法

解決與絕對值有關的問題 如解絕對值不等式,解絕對值方程,研究含有絕對值符號的函式等等 其關鍵往往在於去掉絕對值的符號。而去掉絕對值符號的基本方法有二 其一為平方,其二為討論。所謂平方,比如,x 3,可化為x 2 9,絕對值符號沒有了!所謂討論,即x 0時,x x x 0時,x x,絕對值符號也沒有了...

絕對值不等式解法有哪些,解絕對值不等式時,有幾種常見的方法

鬼袍 以下絕對原創 通解一般是數軸標根法,也是一般情況下最快的方法。在數軸上把使絕對值為零的點都標出來,根據絕對值的幾何意義,絕對值表示的是兩點間的距離 當然就為正了 以此解題。比如 x 3 x 6 5,如果x在3和6之間,那麼x到3的距離加上x到6的距離就只能是6 3 3,而5 3 2,2 2 1...

解不等式的方法,解絕對值不等式時,有幾種常見的方法

我覺得在於自己的理解,不能機械的去模仿。當然每個人的方法也是不一樣的。不等式對我們了解的人來說,當然簡單。而對於不會不了解的一寫人來說。因自己多注意方法,和自己多總結哈。這個方法對其他科目也用一定的作用。還是自己的理解和運用最重要吧。第乙個,有絕對值的如 x 2 x根本不用去討論,直接開絕對值,變成...